《圓和圓的位置關(guān)系》教案

2021-07-03 教案

　　教學(xué)目標(biāo)

　　(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

　　1．了解圓與圓之間的幾種位置關(guān)系．

　　2．了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系．

　　(二) 能力訓(xùn)練要求

　　1．經(jīng)歷探索兩個(gè)圓之間位置關(guān)系的過(guò)程，訓(xùn)練學(xué)生的探索能力．

　　2．通過(guò)平移實(shí)驗(yàn)直觀地探索圓和圓的位置關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的識(shí)圖能力和動(dòng)手操作能力．

　　(三)情感與價(jià)值觀要求

　　1．通過(guò)探索圓和圓的位置關(guān)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性．

　　2．經(jīng)歷探究圖形的位置關(guān)系，豐富對(duì)現(xiàn)實(shí)空間及圖形的認(rèn)識(shí)，發(fā)展形象思維．

　　教學(xué)重點(diǎn)

　　探索圓與圓之間的幾種位置關(guān)系，了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系．

　　教學(xué)難點(diǎn)

　　探索兩個(gè)圓之間的位置關(guān)系，以及外切、內(nèi)切時(shí)兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的過(guò)程．

　　教學(xué)方法

　　教師講解與學(xué)生合作交流探索法

　　教具準(zhǔn)備

　　投影片三張

　　第一張：(記作3． 6A)

　　第二張：(記作3．6B)

　　第三張：(記作3．6C)

　　教學(xué)過(guò)程

　�、瘢畡�(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

　　[師]我們已經(jīng)研究過(guò)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，分別為點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外三種；還探究了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，分別為相離、相切、相交．它們的位置關(guān)系都有三種．今天我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是圓和圓的位置關(guān)系，那么結(jié)果是不是也是三種呢？沒(méi)有調(diào)查就沒(méi)有發(fā)言權(quán)．下面我們就來(lái)進(jìn)行有關(guān)探討．

　　Ⅱ．新課講解

　　一、想一想

　　[師]大家思考一下，在現(xiàn)實(shí)生活中你見(jiàn)過(guò)兩個(gè)圓的哪些位置關(guān)系呢？

　　[生]如自行車(chē)的兩個(gè)車(chē)輪間的位置關(guān) 系；車(chē)輪輪胎的兩個(gè)邊界圓間的位置關(guān)系；用一只手拿住大小兩個(gè)圓環(huán)時(shí)兩個(gè)圓環(huán)間的位置關(guān)系等．

　　[師]很好，現(xiàn)實(shí)生活中我們見(jiàn)過(guò)的有關(guān)兩個(gè)圓的位置很多．下面我們就來(lái)討論這些位置關(guān)系分別是什么．

　　二、探索圓和圓的'位置關(guān)系

　　在一張透明紙上作一個(gè)⊙O．再在另一張透明紙上作一個(gè)與⊙O1半徑不等的⊙O2．把兩張透明紙疊在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1與⊙O2有幾種位置關(guān)系？

　　[師]請(qǐng)大家先自己動(dòng)手操作，總結(jié)出不同的位置關(guān)系，然后互相交流．

　　[生]我總結(jié)出共有五種位置關(guān)系，如下圖：

　　[師]大家的歸納、總結(jié)能力很強(qiáng)，能說(shuō)出五種位置關(guān)系中各自有什么特點(diǎn)嗎？從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的內(nèi)部還是外部來(lái)考慮．

　　[生]如圖：(1)外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部；

　　(2)外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部；

　　(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，一個(gè)圓上的點(diǎn)有的在另一個(gè)圓的外部，有的在另一個(gè)圓的內(nèi)部；

　　(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外，⊙O2上的點(diǎn)在⊙O1的內(nèi)部；

　　(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，⊙O2上的點(diǎn)都在⊙O1的內(nèi)部．

　　[師]總結(jié)得很出色，如果只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮，上面的五種位置關(guān)系中有相同類(lèi)型嗎？

　　[生]外離和內(nèi)含都沒(méi)有公共點(diǎn)；外切和內(nèi)切都有一個(gè)公共點(diǎn)；相交有兩個(gè)公共點(diǎn)．

　　[師]因此只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮，可分為相離、相切、相交三種．

　　經(jīng)過(guò)大家的討論我們可知：

　　投影片(24.3A)

　　(1)如果從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，和一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部還是內(nèi)部來(lái)考慮，兩個(gè)圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．

　　(2)如果只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)考慮分三種：相離、相切、相交，并且相離，相切

　　三、例題講解

　　投影片(24.3B)

　　兩個(gè)同樣大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如圖所示(點(diǎn)O，O＇是圓心)，分隔兩個(gè)肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直線(xiàn)，TP、NP分別為兩圓的切線(xiàn)，求TPN的大�。�

　　分析：因?yàn)閮蓚€(gè)圓大小相同，所以半徑OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分別為兩圓的切線(xiàn)，所以PTOP，PNO＇P，即OPT＝O＇PN＝90，所以TPN等于36 0減去OPT＋O＇PN＋OPO＇即可．

　　解：∵OP＝OO＇＝PO＇，

　　△PO＇O是一個(gè)等邊三角形．

　　OPO＇＝60．

　　又∵TP與NP分別為兩圓的切線(xiàn)，

　　TPO ＝NPO＇＝90．

　　TPN＝360－290－60＝120．

　　四、想一想

　　如圖(1)，⊙O1與⊙O2外切，這個(gè)圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？切點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸有什么位置關(guān)系？如果⊙O1與⊙O2內(nèi)切呢？〔如圖(2 )〕

　　[師]我們知道圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是任一直徑所在的直線(xiàn)，兩個(gè)圓是否也組成一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形呢？這就要看切點(diǎn)T是否在連接兩個(gè)圓心的直線(xiàn)上，下面我們用反證法來(lái)證明．反證法的步驟有三步：第一步是假設(shè)結(jié)論不成立；第二步是根據(jù)假設(shè)推出和已知條件或定理相矛盾的結(jié)論；第三步是證明假設(shè)錯(cuò)誤，則原來(lái)的結(jié)論成立．

　　證明：假設(shè)切點(diǎn)T不在O1O2上．

　　因?yàn)閳A是軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以T關(guān)于O1O2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)T＇也是兩圓的公共點(diǎn)，這與已知條件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假設(shè)不成立．

　　則T在O1O2上．

　　由此可知圖(1)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì) 稱(chēng)軸是兩圓的連心線(xiàn)，切點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系是切點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上．

　　在圖(2)中應(yīng)有同樣的結(jié)論．

　　通過(guò)上面的討論，我們可以得出結(jié)論：兩圓相內(nèi)切或外切時(shí)，兩圓的連心線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，圖(1)和圖(2)都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是它們的連心線(xiàn)．

　　五、議一議

　　投影片(24.3C)

　　設(shè)兩圓的半徑分別為R和r．

　　(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，兩圓圓心之間的距離(簡(jiǎn)稱(chēng)圓心距)d與R和r具有怎樣的關(guān)系？反之當(dāng)d與R和r滿(mǎn)足這一關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)圓一定外切嗎？

　　(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)(R＞r)，圓心距d與R和r具有怎樣的關(guān)系？反之，當(dāng)d與R和r滿(mǎn)足這一關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)圓一定內(nèi)切嗎？

　　[師]如圖，請(qǐng)大家互相交流．

　　[生]在圖(1)中，兩圓相外切，切點(diǎn)是A．因?yàn)榍悬c(diǎn)A在連心線(xiàn) O1O2上，所以O(shè)1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即d＝R＋r；反之，當(dāng)d＝R＋r時(shí)，說(shuō)明圓心距等于兩圓半徑之和，O1、A、O2在一條直線(xiàn)上，所以⊙O1與⊙O2只有一個(gè)交點(diǎn)A，即⊙O1與⊙O2外切．

　　在圖(2)中，⊙O1與⊙O2相內(nèi)切，切點(diǎn)是 B．因?yàn)榍悬c(diǎn)B在連心線(xiàn)O1O2上，所以 O1O2＝O1B－O2B，即d＝R－r；反之，當(dāng)d＝R－r時(shí)，圓心距等于兩半徑之差，即O1O2＝O1B－O2B，說(shuō)明O1、O2、B在一條直線(xiàn)上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1與⊙O2內(nèi)切．

　　[師]由此可知，當(dāng)兩圓相外切時(shí)，有d＝R＋r，反過(guò)來(lái)，當(dāng)d＝R＋r時(shí)，兩圓相外切，即兩圓相外切 d＝R＋r．

　　當(dāng)兩圓相內(nèi)切時(shí)，有d＝R－r，反過(guò)來(lái)，當(dāng)d＝R－r時(shí)，兩圓相內(nèi) 切，即兩圓相內(nèi)切 d＝R－r．

　�、螅n堂練習(xí)

　　隨堂練習(xí)

　�、簦n時(shí)小結(jié)

　　本節(jié)課學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：

　　1．探索圓和圓的五種位置關(guān)系；

　　2．討論在兩圓外切或內(nèi)切情況下，圖形的軸對(duì)稱(chēng)性及對(duì)稱(chēng)軸，以及切點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系；

　　3．探討在兩圓外切或內(nèi)切時(shí)，圓心距d與R和r之間的關(guān)系．

　�、酰n后作業(yè) 習(xí)題24.3

　　Ⅵ．活動(dòng)與探究

　　已知圖中各圓兩兩相切，⊙O的半徑為2R，⊙O1、⊙O2的半徑為R，求⊙O3的半徑．