《平方差公式》教案

2021-06-29 教案

　　教學(xué)建議

　　一、知識結(jié)構(gòu)

　　二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是掌握公式的結(jié)構(gòu)特征及正確運(yùn)用公式．難點(diǎn)是公式推導(dǎo)的理解及字母的廣泛含義．平方差公式是進(jìn)一步學(xué)習(xí)完全平方公式、進(jìn)行相關(guān)代數(shù)運(yùn)算與變形的重要知識基礎(chǔ)．

　　1．平方差公式是由多項式乘法直接計算得出的：

　　與一般式多項式的乘法一樣，積的項數(shù)是多項式項數(shù)的積，即四項．合并同類項后僅得兩項．

　　2．這一公式的結(jié)構(gòu)特征：左邊是兩個二項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；右邊是乘式中兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方差．公式中的字母可以表示具體的數(shù)（正數(shù)和負(fù)數(shù)），也可以表示單項式或多項式等代數(shù)式．

　　只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可運(yùn)用這一公式．例如

　　在運(yùn)用公式的過程中，有時需要變形，例如，變形為，兩個數(shù)就可以看清楚了．

　　3．關(guān)于平方差公式的特征，在學(xué)習(xí)時應(yīng)注意：

　　（1）左邊是兩個二項式相乘，并且這兩上二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)．

　�。�2）右邊是乘式中兩項的平方差（相同項的平方減去相反項的平方）．

　　（3）公式中的和可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式．

　　（4）對于形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘，就可以運(yùn)用上述公式來計算．

　　三、教法建議

　　1．可以將“兩個二項式相乘，積可能有幾項”的問題作為課題引入，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生能在兩個二項式相乘其積可能為四項、三項、兩項中找出積為兩項的特征，上升到一定的理論認(rèn)識，加以實(shí)踐檢驗(yàn)，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、概括的能力．

　　2．通過學(xué)生自己的試算、觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納，得出為什么有的兩個二項式相乘，其積為兩項，因?yàn)槠渲袃身検莾蓚€數(shù)的平方差，而另兩項恰是互為相反數(shù)，合并同類項時為零，即

　　(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．

　　這樣得出平方差公式，并且把這類乘法的.實(shí)質(zhì)講清楚了．

　　3．通過例題、練習(xí)與小結(jié)，教會學(xué)生如何正確應(yīng)用平方差公式．這里特別要求學(xué)生注意公式的結(jié)構(gòu)，教師可以用對應(yīng)思想來加強(qiáng)對公式結(jié)構(gòu)的理解和訓(xùn)練，如計算(1+2x)(1-2x)，

　　(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2

　　↓↓↓↓↑↑

　　(a+b)(a-b)=a2-b2．

　　這樣，學(xué)生就能正確應(yīng)用公式進(jìn)行計算，不容易出差錯．

　　另外，在計算中不一定用一種模式刻板地應(yīng)用公式，可以結(jié)合以前學(xué)過的運(yùn)算法則，經(jīng)過變形后靈活應(yīng)用公式，培養(yǎng)學(xué)生解題的靈活性．

　　教學(xué)目標(biāo)

　　1．使學(xué)生理解和掌握平方差公式，并會用公式進(jìn)行計算；

　　2．注意培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合和抽象、概括以及運(yùn)算能力．

　　教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：平方差公式的應(yīng)用．

　　難點(diǎn)：用公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式．

　　教學(xué)過程設(shè)計

　　一、師生共同研究平方差公式

　　我們已經(jīng)學(xué)過了多項式的乘法，兩個二項式相乘，在合并同類項前應(yīng)該有幾項？合并同類項以后，積可能會是三項嗎？積可能是二項嗎？請舉出例子．

　　讓學(xué)生動腦、動筆進(jìn)行探討，并發(fā)表自己的見解．教師根據(jù)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：

　　兩個二項式相乘，乘式具備什么特征時，積才會是二項式？為什么具備這些特點(diǎn)的兩個二項式相乘，積會是兩項呢？而它們的積又有什么特征？

　　(當(dāng)乘式是兩個數(shù)之和以及這兩個數(shù)之差相乘時，積是二項式．這是因?yàn)榫邆溥@樣特點(diǎn)的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項，合并這兩項的結(jié)果為零，于是就剩下兩項了．而它們的積等于乘式中這兩個數(shù)的平方差)

　　繼而指出，在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類似形式的多項式相乘時就可以直接運(yùn)用公式進(jìn)行計算．以后經(jīng)常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把(a+b)(a-b)=a2-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式．

　　在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用語言敘述公式．

　　二、運(yùn)用舉例變式練習(xí)

　　例1計算(1+2x)(1-2x)．

　　解：(1+2x)(1-2x)

　　=12-(2x)2

　　=1-4x2．

　　教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目條件是否符合平方差公式特征，并讓學(xué)生說出本題中a，b分別表示什么．

　　例2計算(b2+2a3)(2a3-b2)．

　　解：(b2+2a3)(2a3-b2)

　�。�(2a3+b2)(2a3-b2)

　　＝(2a3)2-(b2)2

　�。�4a6-b4．

　　教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只需將(b2+2a3)中的兩項交換位置，就可用平方差公式進(jìn)行計算．

　　課堂練習(xí)

　　運(yùn)用平方差公式計算：

　　(l)(x+a)(x-a)；(2)(m+n)(m-n)；

　　(3)(a+3b)(a-3b)；(4)(1-5y)(l+5y)．

　　例3計算(-4a-1)(-4a+1)．

　　讓學(xué)生在練習(xí)本上計算，教師巡視學(xué)生解題情況，讓采用不同解法的兩個學(xué)生進(jìn)行板演．

　　解法1：(-4a-1)(-4a+1)

　　=[-(4a+l)][-(4a-l)]

　　=(4a+1)(4a-l)

　　=(4a)2-l2

　　=16a2-1．

　　解法2：(-4a-l)(-4a+l)

　　=(-4a)2-l

　　=16a2-1．

　　根據(jù)學(xué)生板演，教師指出兩種解法都很正確，解法1先用了提出負(fù)號的辦法，使兩乘式首項都變成正的，而后看出兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘的形式，應(yīng)用平方差公式，寫出結(jié)果．解法2把-4a看成一個數(shù)，把1看成另一個數(shù)，直接寫出(-4a)2-l2后得出結(jié)果．采用解法2的同學(xué)比較注意平方差公式的特征，能看到問題的本質(zhì)，運(yùn)算簡捷．因此，我們在計算中，先要分析題目的數(shù)字特征，然后正確應(yīng)用平方差公式，就能比較簡捷地得到答案．

　　課堂練習(xí)

　　1．口答下列各題：

　　(l)(-a+b)(a+b)；(2)(a-b)(b+a)；

　　(3)(-a-b)(-a+b)；(4)(a-b)(-a-b)．

　　2．計算下列各題：

　　(1)(4x-5y)(4x+5y)；(2)(-2x2+5)(-2x2-5)；

　　教師巡視學(xué)生練習(xí)情況，請不同解法的學(xué)生，或發(fā)生錯誤的學(xué)生板演，教師和學(xué)生一起分析解法．

　　三、小結(jié)

　　1．什么是平方差公式？

　　2．運(yùn)用公式要注意什么？

　　(1)要符合公式特征才能運(yùn)用平方差公式；

　　(2)有些式子表面不能應(yīng)用公式，但實(shí)質(zhì)能應(yīng)用公式，要注意變形．