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《邏輯學(xué)十五講》讀書筆記

2022-06-06 讀書筆記

  本講主要討論的是謂詞邏輯的最基本內(nèi)容,它分為四個部分來講解。一是個體詞、量詞、謂詞和公式,二是自然語言中量化命題的符號化,三是模型和賦值普遍有效式,四是非普遍有效性的解釋方法。

  謂詞邏輯與詞項邏輯有些相似,它也要將一個簡單命題拆分成各個部分,不同的是它將命題拆分成個體詞、謂詞、量詞和聯(lián)結(jié)詞而不是像詞項邏輯一樣拆分成主項謂項等。個體詞又包括個體變項和個體常項。變項是某個范圍內(nèi)不確定的項,常項同理就是某個范圍內(nèi)確定的項。量詞我們高中接觸過,一般指全稱量詞和存在量詞兩種,量詞也有一定的管轄范圍,稱為轄域。如何尋找它的轄域也簡單,如果量詞后無括號,則量詞后最短的公式就是它的轄域,如果量詞后有括號,則處于該括號內(nèi)的公式構(gòu)成該量詞的轄域。作者認為有必要區(qū)分一個公式中所出現(xiàn)的變項和一個變項在一個公式中的出現(xiàn),一個變項的某一次出現(xiàn)在一個量詞中稱為“約束出現(xiàn)”,否則叫做“自由出現(xiàn)”,一個個體變項可以既是約束變項又是自由變項。一個至少含有一個自由變項的公式叫開公式,不含任何自由變項的公式叫閉公式。

  從書中以上講解,我們也能知道,自然語言任何復(fù)雜度的性質(zhì)命題和關(guān)系命題可以符號化,變?yōu)橹^詞邏輯中的公式。首先談直言命題的符號化,謂詞邏輯把直言命題形式上的主詞和謂詞都變?yōu)橹^詞,然后再尋找邏輯主詞。存在六種直言命題的符號化,定域是全域。全稱的直言命題應(yīng)符號化成為一個全稱的蘊含式,特稱的直言命題應(yīng)該符號化為存在合取式,單稱的直言命題應(yīng)符號化為原子公式。當(dāng)定域為某個特定論域,則謂詞邏輯公式要簡單許多,但一般不做說明時我們都視為全域。關(guān)系命題時斷定對象之間有某種關(guān)系的命題,它至少包含兩個要素,個體詞和關(guān)系謂詞,個體詞就是兩個關(guān)系對象,有些關(guān)系命題帶有量詞,量詞就是指某些關(guān)系對象的范圍和數(shù)量,比如“有些”和“所有”。關(guān)系推理也可以符號化,把一個推理符號化就是分別把推理的前提和結(jié)論符號化,所謂關(guān)系推理就是以命題關(guān)系作前提和結(jié)論的推理,謂詞邏輯的符號表達能力是足夠強,不僅能夠表達所有的性質(zhì)命題,而且能夠表達所有的關(guān)系命題,再以性質(zhì)命題和關(guān)系命題結(jié)合推理。前面的謂詞邏輯的公式和符號,模型和賦值就是對符號和公式進行解釋。非普遍有效式的解釋方法,去證明一個公式具有普遍性是非常難的,相反去證明它是不普遍的就輕松很多,因為你只要找出一個例子它不滿足即可證明,這與謂詞邏輯的解釋相關(guān),稱解釋方法,也稱模型方法。實際上是要求該公式找一個反模型,再對比真假。

  在第六講中,提到了量化命題,-是謂詞邏輯的基本內(nèi)容,即把命題或推理分析為個體詞、謂詞、量詞和聯(lián)結(jié)詞等部分,以便能夠刻畫關(guān)系命題及其推理,以及量詞里面含聯(lián)結(jié)詞結(jié)構(gòu)的命題及其推理。個體詞包括個體變項和個體常項,個體變項表示某個特定的范圍內(nèi)的某個不確定的對象,個體常項表示某個特定范圍內(nèi)的某個確定的對象,這里的某個特地的范圍是“論域”。謂詞經(jīng)過解釋之后,表示論域中個體的性質(zhì)和個體之間的關(guān)系,一元謂詞符號是一個謂詞符號后跟有一個個體詞,如果跟有兩個個體詞,就是一個二元謂詞符號,以此類推,有n個個體詞的謂詞符號,就是n元謂詞符號。

  量詞包括全稱量詞和存在量詞,加上了前面所說的原子公式,就能成立本講的題目提及的“量化公式”,全稱量詞是包括全部的,對于所有,需要全部都成立,那么這個命題才是正確的;而存在量詞是一部分的,某一些,只需要有一個符合符合條件即可。量詞有其管轄的范圍,叫做“轄域”。在實際生活中,為了方便且通俗易懂,可以將復(fù)雜的文字轉(zhuǎn)化為符號,一個簡單的符號可以代表多個文字組成才能表達的意思,可以說他的發(fā)明是很實用了。直言命題的符號化的成立也是需要條件的,包括以下幾點:全稱的直言命題的符號化應(yīng)該是一個全稱蘊含式,特稱的直言命題的符號化是存在直取式,單稱的直言命題應(yīng)該符號化為原子公式,在我看來,就是說全稱命題應(yīng)該轉(zhuǎn)化成全集,特稱命題轉(zhuǎn)化為特殊的集合,單稱命題轉(zhuǎn)化為一個,從其表面的意思來看,就是對象之間具有某種關(guān)系的命題,包括個體詞和關(guān)系謂詞。關(guān)系推理的符號化,即將推理的前提和結(jié)論符號化,雖說這樣子復(fù)雜了一點,但是著實增強了學(xué)者的邏輯推理能力、語言文字表達的轉(zhuǎn)化能力以及抽象的邏輯能力。二元關(guān)系是指兩個對象之間的邏輯性質(zhì),即關(guān)系的自返性、對稱性和傳遞性。

  謂詞邏輯的意義和真假是通過模型和賦值來實現(xiàn)的,說實話讀到這里,我是看不怎么懂的,一大堆的字母符號,和看起來差不多的文字,著實讓我頭暈。一個模型包括以下因素:個體域D、個體常項在個體域D中的值以及謂詞符號在個體域中D的解釋。當(dāng)謂詞邏輯的一個閉公式只含有這些成分,當(dāng)給定模型后,閉公式的意義就能確定。當(dāng)一個公式含有自由變項,即本身是開公式時,他的意義和真假就尚且不能確定。謂詞邏輯的普遍有效式有一般到個別的推理、個別到存在的推理、矛盾律、排中律在謂詞邏輯的表現(xiàn)形式,全稱量詞和存在量詞的相互定義,全稱量詞對于蘊涵和合取的分配律,存在量詞對析取的分配律。不得不說,邏輯學(xué)真的是博大精深,不求甚解是不能深知的。

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