第十一章 算法初步
高考導航
考試要求 重難點擊 命題展望
1.了解算法的含義，了解算法的思想.
2.理解程序框圖的三 種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環(huán)結構.
3.理解幾種基本算法語句輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義.
4.了解幾個古代的算法案例，能用輾轉相除法及更相減損術求最大公約數(shù);用秦九韶算法求多項式的值;了解進位制，會進行不同進位制之間的轉化. 本章重點：1.算法的三種基本邏輯結構即順序結構、條件結構和循環(huán)結構;2.輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句(兩種形式)的結構、作用與功能及各種語句的格式要求.
本章難點：1.用自然語言表示算法和運用程序框圖表示算法;2.用算法的基本思想編寫程序解決簡單問題.弄清三種基本邏輯結構的區(qū)別，把握程序語言中所包含的一些基本語句結構 . 算法初步作為數(shù)學新增部分，在高考中一定會體現(xiàn)出它的重要性和實用性.
高考中將重點考查對變量賦值的理解和掌握、對條件結構和循環(huán)結構的靈活運用，學會根據要求畫出程序框圖;預計高考中，將考查程序框圖、循環(huán)結構和算法思想，并結合函數(shù)與數(shù)列考查邏輯思維能力.因此算法知識與其他知識的結合將是高考的重點，這也恰恰體現(xiàn)了算法的普遍性、工具性，當然難度不會太大，重在考查算法的概念及其思想.
1.以選擇題、填空題為主，重點考查算法的含義、程序框圖、基本算法語句以及算法案例等內容.
2.解答題中可要求學生設計一個計算的程序并畫出程序框圖，能很好地考查學生分析問題、解決問題的能力.
知識網絡
11.1 算法的含義與程序框圖
典例精析
題型一 算法的含義
【例1】已知球的表面積是16，要求球的體積，寫出解決該問題的一個算法.
【解析】算法如下：
第一步，s=16.
第二步，計算R=s4.
第三步，計算V=4R33.
第四步，輸出V.
【點撥】給出一個問題，設計算法應該注意：
(1)認真分析問題，聯(lián)系解決此問題的一般數(shù)學方法，此問題涉及到的各種情況;
(2)將此問題分成若干個步驟;
(3)用簡練的語句將各步表述出來.
【變式訓練1】設計一個計算 135791113的算法.圖中給出程序的一部分，則在橫線①上不能填入的數(shù)是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】當I13成立時，只能運算
1357911.故選A.
題型二 程序框圖
【例2】圖一是某縣參加2010年高考的學生身高條形統(tǒng)計圖，從左到右的各條形表示的學生人數(shù)依次記為A1，A2，，A10(如A2表示身高(單位：cm)在[150,155)內的學生人數(shù)).圖二是統(tǒng)計圖一中身高在一定范圍內學生人數(shù)的一個算法流程圖.現(xiàn)要統(tǒng)計身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的學生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內應填寫的條件是()
A.i6? B.i7? C.i8? D.i9?
圖一
【解析】根據題意可知，i的初始值為4，輸出結果應該是A4+A5+A6+A7，因此判斷框中應填寫i8?，選C.
【點撥】本題的命題角度較為新穎，信息量較大，以條形統(tǒng)計圖為知識點進行鋪墊，介紹了算法流程圖中各個數(shù)據的引入來源，其考查點集中于循環(huán)結構的終止條件的判斷，考查了學生合理地進行推理與迅速作出判斷的解題能力，解本題的過程中不少考生誤選A，實質上本題中的數(shù)據并不大，考生完全可以直接從頭開始限次按流程 圖循環(huán)觀察，依次寫出每次循環(huán)后的變量的賦值，即可得解.
【變式訓練2】(2009遼寧)某店一個月的收入和支出，總共記錄了 N個數(shù)據a1，a2，，aN.其中收入記為正數(shù)，支出記為負數(shù)，該店用如圖所示的程序框圖計算月總收入S和月凈盈利V，那么在 圖中空白的判斷框和處理框中，應分別填入下列四個選項中的()
A.A0?，V=S-T
B.A0?，V=S-T
C.A0?，V=S+T
D.A0?，V=S+T
【解析】選C.
題型三 算法的條件結構
【例3】某快遞公司規(guī)定甲、乙兩地之間物品的托運費用根據下列方法計算：
f=
其中f(單位：元)為托運費，為托運物品的重量(單位：千克)，試寫出一個計算費用f的算法，并畫出相應的程序框圖.
【解析】算法如下：
第一步，輸入物品重量.
第二步，如果50，那么f=0.53，
否則，f=500.53+(-50)0.85.
第三步，輸出托運費f.
程序框圖如圖所示.
【點撥】求分段函數(shù)值的算法應用到條件結構，因此在程序框圖的畫法中需要引入判斷框，要根據題目的要求引入判斷框的個數(shù)，而判斷框內的條件不同，對應的框圖中的內容或操作就相應地進行變化.
【變式訓練3】(2010天津)閱讀如圖的程序框圖，若輸出s的值為-7，則判斷框內可填寫()
A.i3?
B.i4?
C.i5?
D.i6?
【解析】i=1，s=2-1=1;
i=3，s=1-3=-2;
i=5，s=-2-5=-7.所以選D.
題型四 算法的循環(huán)結構
【例4】設計一個計算10個數(shù)的平均數(shù)的算法，并畫出程序框圖.
【解析】算法步驟如下：
第一步，令S=0.
第二步，令I=1.
第三步，輸入一個數(shù)G.
第四步，令S=S+G.
第五步，令I=I+1.
第六步，若I10，轉到第七步，
若I10，轉到第三步.
第七步，令A=S/10.
第八步，輸出A.
據上述算法步驟，程序框圖如圖.
【點撥】(1)引入變量S作為累加變量，引入I為計數(shù)變量，對于這種多個數(shù)據的處理問題，可通過循環(huán)結構來達到;(2)計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，同時它的取值還用于判斷循環(huán)是否終止，累加變量用于輸出結果.
【變式訓練4】設計一個求12310的程序框圖.
【解析】程序框圖如下面的圖一或圖二.
圖一 圖二
總結提高
1.給出一個問題，設計算法時應注意：
(1)認真分析問題，聯(lián)系解決此問題的一般數(shù)學方法;
(2)綜合考慮此類問題中可能涉及的各種情況;
(3)借助有關的變量或參數(shù)對算法加以表述;
(4)將解決問題的過程劃分為若干個步驟;
(5)用簡練的語言將各個步驟表示出來.
2.循環(huán)結構有兩種形式，即當型和直到型，這兩種形式的循環(huán)結構在執(zhí)行流程上有所不同，當型循環(huán)是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，不滿足時退出循環(huán)體;而直到型循環(huán)則是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)體，滿足時退出循環(huán)體.所以判斷框內的條件，是由兩種循環(huán)語句確定的，不得隨便更改.
3.條件結構主要用在一些需要依據條件進行判斷的算法中.如分段函數(shù)的求值，數(shù)據的大小關系等問題的算法設計.
11.2 基本算法語句
典例精析
題型一 輸入、輸出與賦值語句的應用
【例1】閱讀程序框圖(如下圖)，若輸入m=4，n=6，則輸出a= ，i= .
【解析】a=12，i=3.
【點撥】賦值語句是一種重要的基本語句，也是程序必不可少的重要組成部分，使用賦值語句，要注意其格式要求.
【變式訓練1】(2010陜西)如圖是求樣本x1，x2，，x10的平均數(shù) 的`程序框圖，則圖中空白框中應填入的內容為()
A.S=S+xn B.S= S+xnn C.S=S+n D.S=S+ 1n
【解析】因為此步為求和，顯然為S=S+xn，故選A.
題型二 循環(huán)語句的應用
【例2】設計算法求112+123+134++199100的值.要求畫出程序框圖，寫出用基本語句編寫的程序.
【解析】這是一個累加求和問題，共99項相加，可設計一個計數(shù)變量，一個累加變量，用循環(huán)結構實現(xiàn)這一算 法.程序框圖如下圖所示：
程序如下：
s=0
k=1
DO
s=s+1/(k* (k+1))
k=k+1
LOOP UNTIL k99
PRINT s
END
【點撥】(1)在用WHILE語句和UNTIL語句編寫程序解決問題時，一定要注意格式和條件的表述方法，WHILE語句是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，UNTIL語句是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)體.
(2)在解決一些需要反復執(zhí)行的運算任務，如累加求 和、累乘求積等問題中應注意考慮利用循環(huán)語句來實現(xiàn).
(3)在循環(huán)語句中，也可以嵌套條件語句，甚至是循環(huán)語句，此時需要注意嵌套的這些語句，保證語句的完整性，否則就會造成程序無法執(zhí)行.
【變式訓練2】下圖是輸出某個有限數(shù)列各項的程序框圖，則該框圖所輸出的最后一個數(shù)據是.
【解析】由程序框圖可知，當N=1時，A=1;N=2時，A=13;N=3時，A=15，，即輸出各個A值的分母是以1為首項以2為公差的等差數(shù)列，故當N=50時，A=11+(50-1)2=199，即為框圖最后輸出的一個數(shù)據.故填199.
題型三 算法語句的實際應用
【例3】某電信部門規(guī)定：撥打市內電話時，如果通話時間3分鐘以內，收取通話費0.2元，如果通話時間超過3分鐘，則超過部分以每分鐘0.1元收取通話費(通話不足1分鐘時按1分鐘計算).試設計一個計算通話費用的算法，要求寫出算法，編寫程序.
【解析】我們用c(單位：元)表示通話費，t(單位：分鐘)表示通話時間，
則依題意有
算法步驟如下：
第一步，輸入通話時間t.
第二步，如果t3，那么c=0.2;否則c=0.2+0.1[t-2].
第三步，輸出通話費用c.
程序如下：
INPUT t
IF t3 THEN
c=0.2
ELSE
c=0.2+0.1*INT(t-2)
END IF
PRINT c
END
【點撥】在解決實際問題時，要正確理解其中的算法思想，根據題目寫出其關系式，再寫出相應的算法步驟，畫出程序框圖，最后準確地編寫出程序，同時要注意結合題意加深對算法的理解.
【變式訓練3】(2010江蘇)下圖是一個算法流程圖，則輸出S的值是.
【解析】n=1時，S=3;n=2時，S=3+4=7;n=3時，S=7+8=15;n=4時，S=15+24=31;n=5時，S=31+25=63.因為6333，所以輸出的S值為63.
總結提高
1.輸入、輸出語句可以設計提示信息，加引號表示出來，與變量之間用分號隔開.
2.賦值語句的賦值號左邊只能是變量而不能是表達式;賦值號左右兩邊不能對換，不能利用賦值語句進行代數(shù)式計算，利用賦值語句可以實 現(xiàn)兩個變量值的互換，方法是引進第三個變量，用三個賦值語句完成.
3.在某些算法中，根據需要，在條件語句的THEN分支或ELSE分支中又可以包含條件語句.遇到這樣的問題，要分清內外條件結構，保證結構的完整性.
4.分清WHILE語句和UNTIL語句的格式，在解決一些需要反復執(zhí)行的運算任務，如累加求和，累乘求積等問題中應主要考慮利用循環(huán)語句來實現(xiàn)，但也要結合其他語句如條件語句.
5.編程的一般步驟：
(1)算法分析;(2)畫出程序框圖;(3)寫出程序.
11.3 算法案例
典例精析
題型一 求最大公約數(shù)
【例1】(1)用輾轉相除法求840與1 764的最大公約數(shù);
(2)用更相減損術求440與556的最大公約數(shù).
【解析】(1)用輾轉相除法求840與1 764的最大公約數(shù)：
1 764=8402+84，
840=8410+0.
所以840與1 764的最大公約數(shù)是84.
(2)用更相減損術求440與556的最大公約數(shù)：
556-440=116，
440-116=324，
324-116=208，
208-116=92，
116-92=24，
92-24=68，
68-24=44，
44-24=20，
24-20=4，
20-4=16，
16-4=12，
12-4=8，
8-4=4.
所以440與556的最大公約數(shù)是4.
【點撥】(1)輾轉相除法與更相減損術是求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法，輾轉相除法用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，直到大數(shù)被小數(shù)除盡結 束運算，較小的數(shù)就是最大公約數(shù);更相減損術是用兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，直到所得的差和較小數(shù)相等為止，這個較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù).一般情況下，輾轉相除法步驟較少，而更相減損術步驟較多，但運算簡易，解題時要靈活運用.
(2)兩個以上的數(shù)求最大公約數(shù)，先求其中兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再用所得的公約數(shù)與其他各數(shù)求最大公約數(shù)即可.
【變式訓練1】求147,343,133的最大公約數(shù).
【解析】先求147與343的最大公約數(shù).
343-147=196，
196-147=49，
147-49=98，
98-49=49，
所以147與343的最大公約數(shù)為49.
再求49與133的最大公約數(shù).
133-49=84，
84-49=35，
49-35=14，
35-14=21，
21-14=7，
14-7=7.
所以147,343,133的最大公約數(shù)為7.
題型二 秦九韶算法的應用
【例2】用秦九韶算 法寫出求多項式f(x)=1+x+0.5x2+0.016 67x3+0.041 67x4+0.008 33x5在x=-0.2時的值的過程.
【解析】先把函數(shù)整理成f(x)=((((0.008 33x+0.041 67)x+0.166 67)x+0.5)x+1)x+1，
按照從內向外的順序依次進行.
x=-0.2，
a5=0.008 33， v0=a5=0.008 33;
a4=0.041 67， v1=v0x+a4=0.04;
a3=0.016 67， v2=v1x+a3=0.008 67;
a2=0.5， v3=v2x+a2=0.498 27;
a1=1， v4=v3x+a1=0.900 35;
a0=1， v5=v4x+a0=0.819 93;
所以f(-0.2)=0.819 93.
【點撥】秦九韶算法是多項式求值的最優(yōu)算法，特點是：
(1)將高次多項式的求值化為一次多項式求值;
(2)減少運算次數(shù)，提高效率;
(3)步驟重復實施，能用計算機操作.
【變式訓練2】用秦九韶算法求多項式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1當x=2時的值為.
【解析】1 397.
題型三 進位制之間的轉換
【例3】(1)將101 111 011(2)轉化為十進制的數(shù);
(2)將53(8)轉化為二進制的數(shù).
【解析】(1)101 111 011(2)=128+027+126+125+124+123+022+121+1=379.
(2)53(8)=581+3=43.
所以53(8)=101 011(2).
【點撥】將k進制數(shù)轉換為十進制數(shù)，關鍵是先寫成冪的積的形式再求和，將十進制數(shù)轉換為k進制數(shù)，用除k取余法，余數(shù)的書寫是由下往上，順序不能顛倒，k進制化為m進制(k，m10)，可以用十進制過渡.
【變式訓練3】把十進制數(shù)89化為三進制數(shù).
【解析】具體的計算方法如下：
89=329+2，
29=39+2，
9=33+0，
3=31+0，
1=30+1，
所以89(10)=10 022(3).
總結提高
1.輾轉相除法和更相減損術都是用來求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的方法.其算法不同，但二者的原理卻是相似的，主要區(qū)別是一個是除法運算，一個是減法運算，實質都是一個遞推的過程.用秦九韶算法計算多項式的值，關鍵是正確的將多項式改寫，然后由內向外，依次計算求解.
2.將k進制數(shù)轉化為十進制數(shù)的算法和將十進制數(shù)轉化為k進制數(shù)的算法操作性很強，要掌握算法步驟，并熟練轉化;要熟練應用除基數(shù)，倒取余，一直除到商為0.
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