《求最大值和最小值的方法》一書中，已對微分理論進行了比較系統(tǒng)的探討。他把直線平面坐標應用于幾何學也早于笛卡兒，在其所著〈平面及空間位置理論的導言〉中，最早提出了一次方程代表直線，二次方程代表截線，對一次與二次方程的一般形式，也進行了研究。費馬還研究了對方程ax2+1=Y2整數(shù)解的問題。得出了求導數(shù)所有約數(shù)的系統(tǒng)方法。
著名的費馬大定理是費馬提出的至今尚未解決的問題。1637年費馬提出：“不可能把一個整數(shù)的立方表示成兩個立方的和，把一個四次方冪表示成兩個四次方冪的和，一般地，不可能把任一個次數(shù)大于2的方冪表示成兩個同方冪的和�！�1665年這一定理提出后，引起了許多著名數(shù)學家的關注，至今尚在研究如何證明它的成立，但始終毫無結果。
費馬在光學方面，確立了幾何光學的重要原理，命名為費馬原理。這一原理是幾何光學的`最重要基本理論之一，對于笛卡兒的“光在密媒質中比在疏媒質中傳播要快”的觀點給予了有力的反駁，把幾何光學的發(fā)展推向了新的階段。
幾何光學已有悠久的發(fā)展歷史。公元前400年，我國《墨經(jīng)》中便有光的直線傳播和各種面鏡對光的反射的記載。公元100年亞歷山大里亞的希羅（Hero）曾提出過光在兩點之間走最短路程的看法。托勒密在公元130年對光的折射進行過研究。公元1611年開普勒對光學的研究達到了較高的定量程度。最后，1621年斯涅爾總結出了光的折射定律。費馬則是用數(shù)學方法證明了折射定律的主要學者之一。
費馬原理是根據(jù)經(jīng)濟原則提出的，它指出：光沿著所需時間為極值的路徑傳播�？梢岳斫鉃椋庠诳臻g沿著光程為極值的路傳播，即沿光程為最小、最大或常量路徑傳播。
費馬定理不但是正確的，同時它與光的反射定律和折射定律具有同等的意義。由于費馬原理的確立，幾何光學發(fā)展到了較為完善的程度。
費馬（PierredeFermat,1601--1665）法國數(shù)學家、物理學家。生于博蒙德羅曼。其父曾任法國圖盧茲地方法院的法律顧問。本人身為律師，曾任圖盧茲議會的顧問30多年。他的一系列重要科學研究成果，都是利用業(yè)余時間完成的。
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