三角函數(shù)教案

2024-03-28 教案

　　作為一位不辭辛勞的人民教師，常常需要準備教案，教案有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。那么教案應該怎么寫才合適呢？以下是小編整理的三角函數(shù)教案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

三角函數(shù)教案1

　本文題目：高三數(shù)學教案：三角函數(shù)的周期性

　　一、學習目標與自我評估

　　1 掌握利用單位圓的幾何方法作函數(shù) 的圖象

　　2 結(jié)合的圖象及函數(shù)周期性的定義了解三角函數(shù)的周期性，及最小正周期

　　3 會用代數(shù)方法求等函數(shù)的周期

　　4 理解周期性的幾何意義

　　二、學習重點與難點

　　周期函數(shù)的概念，周期的求解。

　　三、學法指導

　　1、是周期函數(shù)是指對定義域中所有都有

　　，即應是恒等式。

　　2、周期函數(shù)一定會有周期，但不一定存在最小正周期。

　　四、學習活動與意義建構(gòu)

　　五、重點與難點探究

　　例1、若鐘擺的高度與時間之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示

　　(1)求該函數(shù)的周期;

　　(2)求時鐘擺的高度。

　　例2、求下列函數(shù)的周期。

　　(1) (2)

　　總結(jié)：(1)函數(shù) (其中均為常數(shù)，且

　　的周期T= 。

　　(2)函數(shù) (其中均為常數(shù)，且

　　的周期T= 。

　　例3、求證：的周期為。

　　例4、(1)研究和函數(shù)的圖象，分析其周期性。

　　(2)求證：的周期為 (其中均為常數(shù)，

　　且

　　總結(jié)：函數(shù) (其中均為常數(shù)，且

　　的周期T= 。

　　例5、(1)求的周期。

　　(2)已知滿足，求證：是周期函數(shù)

　　課后思考：能否利用單位圓作函數(shù) 的圖象。

　　六、作業(yè)：

　　七、自主體驗與運用

　　1、函數(shù) 的周期為 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　2、函數(shù) 的`最小正周期是 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　3、函數(shù) 的最小正周期是 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　4、函數(shù) 的周期是 ( )

　　A、 B、 C、 D、

　　5、設是定義域為R,最小正周期為的函數(shù)，

　　若，則的值等于 ()

　　A、1 B、 C、0 D、

　　6、函數(shù) 的最小正周期是，則

　　7、已知函數(shù) 的最小正周期不大于2，則正整數(shù)

　　的最小值是

　　8、求函數(shù) 的最小正周期為T，且，則正整數(shù)

　　的最大值是

　　9、已知函數(shù) 是周期為6的奇函數(shù)，且則

　　10、若函數(shù) ，則

　　11、用周期的定義分析的周期。

　　12、已知函數(shù) ，如果使的周期在內(nèi)，求

　　正整數(shù) 的值

　　13、一機械振動中，某質(zhì)子離開平衡位置的位移與時間之間的

　　函數(shù)關(guān)系如圖所示：

　　(1) 求該函數(shù)的周期;

　　(2) 求時，該質(zhì)點離開平衡位置的位移。

　　14、已知是定義在R上的函數(shù)，且對任意有

　　成立，

　　(1) 證明：是周期函數(shù);

　　(2) 若求的值。

三角函數(shù)教案2

　　三角函數(shù)的誘導公式

　　一、指導思想與理論依據(jù)

　　數(shù)學是一門培養(yǎng)人的思維，發(fā)展人的思維的重要學科。因此，在教學中，不僅要使學生“知其然”而且要使學生“知其所以然”。所以在學生為主體，教師為主導的原則下，要充分揭示獲取知識和方法的思維過程。因此本節(jié)課我以建構(gòu)主義的“創(chuàng)設問題情境——提出數(shù)學問題——嘗試解決問題——驗證解決方法”為主，主要采用觀察、啟發(fā)、類比、引導、探索相結(jié)合的教學方法。在教學手段上，則采用多媒體輔助教學，將抽象問題形象化，使教學目標體現(xiàn)的更加完美。

　　二.教材分析

　　三角函數(shù)的誘導公式是普通高中課程標準實驗教科書(人教a版)數(shù)學必修四，第一章第三節(jié)的內(nèi)容，其主要內(nèi)容是三角函數(shù)誘導公式中的公式(二)至公式(六).本節(jié)是第一課時,教學內(nèi)容為公式(二)、(三)、(四).教材要求通過學生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數(shù)的定義和誘導公式(一)的基礎(chǔ)上，利用對稱思想發(fā)現(xiàn)任意角與終邊的對稱關(guān)系，發(fā)現(xiàn)他們與單位圓的交點坐標之間關(guān)系，進而發(fā)現(xiàn)他們的三角函數(shù)值的關(guān)系，即發(fā)現(xiàn)、掌握、應用三角函數(shù)的誘導公式公式(二)、(三)、(四).同時教材滲透了轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法，為培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的學習習慣提出了要求.為此本節(jié)內(nèi)容在三角函數(shù)中占有非常重要的地位.

　　三.學情分析

　　本節(jié)課的授課對象是本校高一(1)班全體同學，本班學生水平處于中等偏下，但本班學生具有善于動手的良好學習習慣，所以采用發(fā)現(xiàn)的教學方法應該能輕松的完成本節(jié)課的教學內(nèi)容.

　　四.教學目標

　　(1).基礎(chǔ)知識目標：理解誘導公式的發(fā)現(xiàn)過程，掌握正弦、余弦、正切的誘導公式;

　　(2).能力訓練目標：能正確運用誘導公式求任意角的正弦、余弦、正切值，以及進行簡單的三角函數(shù)求值與化簡;

　　(3).創(chuàng)新素質(zhì)目標：通過對公式的推導和運用，提高三角恒等變形的能力和滲透化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，提高學生分析問題、解決問題的能力;

　　(4).個性品質(zhì)目標：通過誘導公式的學習和應用，感受事物之間的普通聯(lián)系規(guī)律，運用化歸等數(shù)學思想方法，揭示事物的本質(zhì)屬性，培養(yǎng)學生的唯物史觀.

　　五.教學重點和難點

　　1.教學重點

　　理解并掌握誘導公式.

　　2.教學難點

　　正確運用誘導公式，求三角函數(shù)值，化簡三角函數(shù)式.

　　六.教法學法以及預期效果分析

　　“授人以魚不如授之以魚”，作為一名老師,我們不僅要傳授給學生數(shù)學知識,更重要的是傳授給學生數(shù)學思想方法, 如何實現(xiàn)這一目的,要求我們每一位教者苦心鉆研、認真探究.下面我從教法、學法、預期效果等三個方面做如下分析.

　　1.教法

　　數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學，而不僅僅是數(shù)學活動的結(jié)果，數(shù)學學習的目的不僅僅是為了獲得數(shù)學知識，更主要作用是為了訓練人的思維技能，提高人的思維品質(zhì).

　　在本節(jié)課的教學過程中，本人以學生為主題，以發(fā)現(xiàn)為主線，盡力滲透類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，采用提出問題、啟發(fā)引導、共同探究、綜合應用等教學模式，還給學生“時間”、“空間”，由易到難，由特殊到一般，盡力營造輕松的學習環(huán)境，讓學生體味學習的快樂和成功的喜悅.

　　2.學法

　　“現(xiàn)代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學習方法的人”，很多課堂教學常常以高起點、大容量、快推進的做法，以便教給學生更多的知識點，卻忽略了學生接受知識需要時間消化，進而泯滅了學生學習的興趣與熱情.如何能讓學生最大程度的.消化知識，提高學習熱情是教者必須思考的問題.

　　在本節(jié)課的教學過程中，本人引導學生的學法為思考問題共同探討解決問題簡單應用重現(xiàn)探索過程練習鞏固.讓學生參與探索的全部過程，讓學生在獲取新知識及解決問題的方法后，合作交流、共同探索，使之由被動學習轉(zhuǎn)化為主動的自主學習.

　　3.預期效果

　　本節(jié)課預期讓學生能正確理解誘導公式的發(fā)現(xiàn)、證明過程，掌握誘導公式，并能熟練應用誘導公式了解一些簡單的化簡問題.

　　七.教學流程設計

　　(一)創(chuàng)設情景

　　1.復習銳角300，450，600的三角函數(shù)值;

　　2.復習任意角的三角函數(shù)定義;

　　3.問題:由，你能否知道sin2100的值嗎?引如新課.

　　設計意圖

　　自信的鼓勵是增強學生學習數(shù)學的自信，簡單易做的題加強了每個學生學習的熱情，具體數(shù)據(jù)問題的出現(xiàn)，讓學生既有好像會做的心理但又有迷惑的茫然，去發(fā)掘潛力期待尋找機會證明我能行，從而思考解決的辦法.

　　(二)新知探究

　　1. 讓學生發(fā)現(xiàn)300角的終邊與2100角的終邊之間有什么關(guān)系;

　　2.讓學生發(fā)現(xiàn)300角的終邊和2100角的終邊與單位圓的交點為、的坐標有什么關(guān)系;

　　3.sin2100與sin300之間有什么關(guān)系.

　　設計意圖

　　由特殊問題的引入，使學生容易了解，實現(xiàn)教學過程的平淡過度,為同學們探究發(fā)現(xiàn)任意角與的三角函數(shù)值的關(guān)系做好鋪墊.

　　(三)問題一般化

三角函數(shù)教案3

　　一、教學目標：

　　1、知識與技能

　�。�1）使學生掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；

　�。�2）已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；

　　（3）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡三角函數(shù)式；

　�。�4）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式；

　�。�5）牢固掌握同角三角函數(shù)的三個關(guān)系式并能靈活運用于解題，提高學生分析，解決三角問題的能力；

　　（6）靈活運用同角三角函數(shù)關(guān)系式的不同變形，提高三角恒等變形的能力，進一步樹立化歸思想方法；

　�。�7）掌握恒等式證明的一般方法。

　　2、過程與方法

　　由圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，利用三角函數(shù)線，探究同一個角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系；學習已知一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡三角函數(shù)式；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式等。通過例題講解，總結(jié)方法。通過做練習，鞏固所學知識。

　　3、情態(tài)與價值

　　通過本節(jié)的學習，牢固掌握同角三角函數(shù)的三個關(guān)系式并能靈活運用于解題，提高學生分析，解決三角問題的能力；進一步樹立化歸思想方法和證明三角恒等式的一般方法。

　　二、教學重、難點

　　重點：公式及的推導及運用：

　　（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的'一個，求其余兩個；

　　（2）化簡三角函數(shù)式；

　�。�3）證明簡單的三角恒等式。

　　難點：根據(jù)角α終邊所在象限求出其三角函數(shù)值；選擇適當?shù)姆椒ㄗC明三角恒等式。

　　三、學法與教學用具

　　利用三角函數(shù)線的定義，推導同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：及，并靈活應用求三角函數(shù)值，化減三角函數(shù)式，證明三角恒等式等。

　　教學用具：圓規(guī)、三角板、投影

　　四、教學設想

　　【創(chuàng)設情境】

　　與初中學習銳角三角函數(shù)一樣，本節(jié)課我們來研究同角三角函數(shù)之間關(guān)系，弄清同角各不同三角函數(shù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn)不同函數(shù)值之間的互相轉(zhuǎn)化．

　　【探究新知】

　　1、探究：三角函數(shù)是以單位圓上點的坐標來定義的，你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，討論一

　　下同一個角不同三角函數(shù)之間的關(guān)系嗎？

　　如圖：以正弦線，余弦線和半徑三者的長構(gòu)成直角三角形，而且。由勾股定理由，因此，即。

　　根據(jù)三角函數(shù)的定義，當時，有。

　　這就是說，同一個角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切。

　　2、例題講評

　　例6。已知，求的值。

　　三者知一求二，熟練掌握。

　　3、鞏固練習頁第1，2，3題

　　4、例題講評

　　例7。求證：。

　　通過本例題，總結(jié)證明一個三角恒等式的方法步驟。

　　5、鞏固練習頁第4，5題

　　6、學習小結(jié)

　�。�1）同角三角函數(shù)的關(guān)系式的前提是“同角”，因此，．

　�。�2）利用平方關(guān)系時，往往要開方，因此要先根據(jù)角所在象限確定符號，即要就角所在象限進行分類討論．

　　五、評價設計

　　（1）作業(yè)：習題1。2A組第10，13題。

　�。�2）熟練掌握記憶同角三角函數(shù)的關(guān)系式，試將關(guān)系式變形等，得到其他幾個常用的關(guān)系式；注意三角恒等式的證明方法與步驟。

三角函數(shù)教案4

　　【教學目標：】

　　1．通過對初中銳角三角函數(shù)定義的回憶，掌握任意角三角函數(shù)的定義法，并掌握用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)值．

　　2．掌握已知角終邊上一點坐標，求四個三角函數(shù)值．（即給角求值問題）

　　【教學重點：】

　　任意角的三角函數(shù)的定義．

　　【教學難點：】

　　任意角的三角函數(shù)的定義，正弦、余弦、正切這三種三角函數(shù)的幾何表示．

　　【教學用具：】

　　直尺、圓規(guī)、投影儀．

　　【教學步驟：】

　　1．設置情境

　　角的范圍已經(jīng)推廣，那么對任一角是否也能像銳角一樣定義其四種三角函數(shù)呢？本節(jié)課就來討論這一問題．

　　2．探索研究

　�。�1）復習回憶銳角三角函數(shù)

　　我們已經(jīng)學習過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值，定義了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)，本節(jié)課我們研究當角是一個任意角時，其三角函數(shù)的定義及其幾何表示．

　�。�2）任意角的三角函數(shù)定義

　　如圖1，設是任意角，的終邊上任意一點的坐標是，當角在第一、二、三、四象限時的情形，它與原點的距離為，則．

　　定義：①比值叫做的正弦，記作，即．

　　②比值叫做的余弦，記作，即．

　　圖1

　　③比值叫做的正切，記作，即．

　　同時提供顯示任意角的三角函數(shù)所在象限的課件

　　提問：對于確定的角，這三個比值的大小和點在角的.終邊上的位置是否有關(guān)呢？

　　利用三角形相似的知識，可以得出對于角，這三個比值的大小與點在角的終邊上的位置無關(guān)，只與角的大小有關(guān)．

　　請同學們觀察當時，的終邊在軸上，此時終邊上任一點的橫坐標都等于0，所以無意義，除此之外，對于確定的角，上面三個比值都是惟一確定的．把上面定義中三個比的前項、后項交換，那么得到另外三個定義．

　�、鼙戎� 叫做的余切，記作，則．

　　⑤比值叫做的正割，記作，則．

　�、薇戎� 叫做的余割，記作，則．

　　可以看出：當時，的終邊在軸上，這時的縱坐標都等于0，所以與的值不存在，當時，的值不存在，除此之外，對于確定的角，比值，，分別是一個確定的實數(shù)，所以我們把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)．

　�。�3）三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)

　　對于確定的角，如圖2所示，，，分別對應的比值各是一個確定的實數(shù)，因此，正弦，余弦，正切分別可看成從一個角的集合到一個比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，當采用弧度制來度量角時，每一個確定的角有惟一確定的弧度數(shù)，這是一個實數(shù)，所以這幾種三角函數(shù)也都可以看成是以實數(shù)為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．

　　即：實數(shù)→角（其弧度數(shù)等于這個實數(shù)）→三角函數(shù)值（實數(shù)）

　　（4）三角函數(shù)的一種幾何表示

　　利用單位圓有關(guān)的有向線段，作出正弦線，余弦線，正切線，如下圖3．

　　圖3

　　設任意角的頂點在原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點，過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸，設它與角的終邊（當為第一、四象限時）或其反向延長線（當為第二、三象限時）相交于，當角的終邊不在坐標軸上時，我們把，都看成帶有方向的線段，這種帶方向的線段叫有向線段．由正弦、余弦、正切函數(shù)的定義有：

　　這幾條與單位圓有關(guān)的有向線段叫做角的正弦線、余弦線、正切線．當角的終邊在軸上時，正弦線、正切線分別變成一個點；當角的終邊在軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在．

　�。�5）例題講評

三角函數(shù)教案5

　　教學目的：

　�、闭莆胀侨呛瘮�(shù)的基本關(guān)系式，理解同角公式都是恒等式的特定意義；

　　2 通過運用公式的訓練過程，培養(yǎng)學生解決三角函數(shù)求值、化簡、恒等式證明的解題技能，提高運用公式的靈活性；

　　3 注意運用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題；在解決三角函數(shù)化簡問題過程中，注意培養(yǎng)學生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學過程中，注意培養(yǎng)學生分析問題的`能力，從而提高邏輯推理能力．

　　教學重點：

　　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

　　教學難點：

　　(1)已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時正負號的選擇；

　　(2)三角函數(shù)式的化簡；(3)證明三角恒等式．

　　授課類型：

　　新授課

　　知識回顧：

　　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式:

　　典型例題：

　　例1．已知sin =2，求α的其余三個三角函數(shù)值．

　　例2．已知：且，試用定義求的其余三個三角函數(shù)值．

　　例3．已知角的終邊在直線=3x上，求sin 和cs 的值．

　　說明：已知某角的一個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值時要注意：

　　(1)角所在的象限；

　　(2)用平方關(guān)系求值時，所求三角函數(shù)的符號由角所在的象限決定；

　　(3)若題設中已知角的某個三角函數(shù)值是用字母給出的，則求其他函數(shù)值時，要對該字母分類討論．

　　小結(jié)：

　　幾種技巧

　　課后作業(yè)：

　　板書設計（略）

　　課后記：

三角函數(shù)教案6

　　一、知識與技能

　　1. 會用三角函數(shù)線分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值

　　2.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義;

　　3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題

　　二、過程與方法

　　1.借助幾何畫板讓學生經(jīng)歷概念的`形成過程，提高學生觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、猜想和實驗探索的能力;

　　2.讓學生從所學知識基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新問題，并加以解決，提高學生抽象概括、分析歸納、數(shù)學表述等基本數(shù)學思維能力.

　　三、情感、態(tài)度與價值觀

　　1.通過學生之間、師生之間的交流合作，實現(xiàn)共同探究獲取知識.

　　2.通過三角函數(shù)線學習，使學生進一步加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解，培養(yǎng)良好的思維習慣，拓展思維空間

　　教學重點：三角函數(shù)線的作法及其簡單應用

　　教學難點：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式表示出來.

三角函數(shù)教案7

　　一.教學目標

　　1．知識與技能

　�。�1）能夠借助三角函數(shù)的定義及單位圓中的三角函數(shù)線推導三角函數(shù)的誘導公式。

　　（2）能夠運用誘導公式，把任意角的三角函數(shù)的化簡、求值問題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的化簡、求值問題。

　　2．過程與方法

　�。�1）經(jīng)歷由幾何直觀探討數(shù)量關(guān)系式的過程，培養(yǎng)學生數(shù)學發(fā)現(xiàn)能力和概括能力。

　�。�2）通過對誘導公式的探求和運用，培養(yǎng)化歸能力，提高學生分析問題和解決問題的能力。

　　3．情感、態(tài)度、價值觀

　�。�1）通過對誘導公式的探求，培養(yǎng)學生的探索能力、鉆研精神和科學態(tài)度。

　�。�2）在誘導公式的探求過程中，運用合作學習的方式進行，培養(yǎng)學生團結(jié)協(xié)作的精神。

　　二.教學重點與難點

　　教學重點:探求π－a的誘導公式。π＋a與－a的誘導公式在小結(jié)π－a的誘導公式發(fā)現(xiàn)過程的基礎(chǔ)上，教師引導學生推出。

　　教學難點:π＋a，－a與角a終邊位置的幾何關(guān)系，發(fā)現(xiàn)由終邊位置關(guān)系導致（與單位圓交點）的'坐標關(guān)系，運用任意角三角函數(shù)的定義導出誘導公式的“研究路線圖”。

　　三.教學方法與教學手段

　　問題教學法、合作學習法，結(jié)合多媒體課件

　　四.教學過程

　　角的概念已經(jīng)由銳角擴充到了任意角，前面已經(jīng)學習過任意角的三角函數(shù)，那么任意角的三角函數(shù)值怎么求呢？先看一個具體的問題。

　�。ㄒ唬﹩栴}提出

　　如何將任意角三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為0°~360°角三角函數(shù)求值問題。

　　【問題1】求390°角的正弦、余弦值.

　　一般地，由三角函數(shù)的定義可以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等，三角函數(shù)看重的就是終邊位置關(guān)系。即有：sin(a+k·360°) = sinα，cos(a+k·360°) = cosα， (k∈Z)

　　tan(a+k·360°) = tanα。

　　這組公式用弧度制可以表示成sin(a+2kπ) = sinα，cos(a+2kπ) = cosα， (k∈Z) (公式一)

　　tan(a+2kπ) = tanα。

　�。ǘ﹪L試推導

　　如何利用對稱推導出角π-a與角a的三角函數(shù)之間的關(guān)系。

　　由上一組公式，我們知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值一定相等。反過來呢？如果兩個角的三角函數(shù)值相等，它們的終邊一定相同嗎?比如說：

　　【問題2】你能找出和30°角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？

　　角π-a與角a的終邊關(guān)于y軸對稱,有

　　sin(π-a) = sina，cos(π-a) =-cosa，（公式二）

　　tan(π-a) =-tana。

　　〖思考〗請大家回顧一下，剛才我們是如何獲得這組公式(公式二)的?

　　因為與角a終邊關(guān)于y軸對稱是角π-a，利用這種對稱關(guān)系，得到它們的終邊與單位圓的交點的縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)。于是，我們就得到了角π-a與角a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:正弦值相等，余弦值互為相反數(shù)，進而，就得到我們研究三角函數(shù)誘導公式的路線圖：角間關(guān)系→對稱關(guān)系→坐標關(guān)系→三角函數(shù)值間關(guān)系。

　�。ㄈ┳灾魈骄�

　　如何利用對稱推導出π+a,-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。

　　剛才我們利用單位圓，得到了終邊關(guān)于y軸對稱的角π-a與角a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，下面我們還可以研究什么呢？

　　【問題3】兩個角的終邊關(guān)于x軸對稱,你有什么結(jié)論?兩個角的終邊關(guān)于原點對稱呢？

　　角-a與角a的終邊關(guān)于x軸對稱，有：

　　sin(-a) =-sina，cos(-a) = cosa，（公式三）

　　tan(-a) =-tana。

　　角π+a與角a終邊關(guān)于原點O對稱，有：

　　sin(π +a) =-sina，cos(π +a) =-cosa，（公式四）

　　tan(π +a) = tana。

　　上面的公式一~四都稱為三角函數(shù)的誘導公式。

　�。ㄋ模┖唵螒�

　　例求下列各三角函數(shù)值：

　　(1) sinp； (2) cos(-60°)；（3）tan(-855°)

　�。ㄎ澹┗仡櫡此�

　　【問題4】回顧一下，我們是怎樣獲得誘導公式的?研究的過程中，你有哪些體會?

　　知識上，學會了四組誘導公式；思想方法層面：誘導公式體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想；誘導公式所揭示的是終邊具有某種對稱關(guān)系的兩個角三角函數(shù)之間的關(guān)系。主要體現(xiàn)了化歸和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。具體可以表示如下：

　�。┓謱幼鳂I(yè)

　　1、閱讀課本，體會三角函數(shù)誘導公式推導過程中的思想方法；

　　2、必做題課本23頁13

　　3、選做題

　�。�1）你能由公式二、三、四中的任意兩組公式推導到另外一組公式嗎？

　　（2）角α和角β的終邊還有哪些特殊的位置關(guān)系，你能探究出它們的三角函數(shù)值之間的關(guān)系嗎？

三角函數(shù)教案8

　　【教學課題】:已知三角函數(shù)值求角

　　【教學目標】:了解反三角函數(shù)的定義，掌握用反三角函數(shù)值表示給定區(qū)間上的角

　　【教學重點】:掌握用反三角函數(shù)值表示給定區(qū)間上的角

　　【教學難點】:反三角函數(shù)的定義

　　【教學過程】:

　　一．問題的提出：

　　在我們的學習中常遇到知三角函數(shù)值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我們?nèi)绾伪硎灸兀肯喈斢谥腥绾斡脕肀硎�，這是一個反解的過程，由此想到求反函數(shù)。但三角函數(shù)由于有周期性，它們不存在反函數(shù)，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個區(qū)間滿足：

　　（1）包含銳角；（2）具有單調(diào)性；（3）能取得三角函數(shù)值域上的所有值。

　　顯然對，這樣的區(qū)間是；對，這樣的區(qū)間是；對，這樣的區(qū)間是；

　　二．新課的.引入：

　　1．反正弦定義：

　　反正弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.

　　對于注意：

　　（1）（相當于原來函數(shù)的值域）；

　　（2）（相當于原來函數(shù)的定義域）；

　　即：相當于內(nèi)的一個角，這個角的正弦值為。

　　反正弦：符合條件（）的角，叫做實數(shù)的反正弦，記作：。其中，。

　　例如：

　　由此可見：書上的反正弦與反正弦函數(shù)是一致的，當然理解了反正弦函數(shù)，能使大家更加系統(tǒng)地掌握這部分知識。

　�。玻从嘞叶x：

　　反余弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作：.

　　對于注意：

　�。�1）（相當于原來函數(shù)的值域）；

　�。�2）（相當于原來函數(shù)的定義域）；

　�。�3）；

　　即：相當于內(nèi)的一個角，這個角的余弦值為。

　　反余弦：符合條件（）的角，叫做實數(shù)的反正弦，記作：。其中，。

　　例如：，，由于，故為負值時，表示的是鈍角。

　�。常凑卸x：

　　反正切函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.

　　對于注意：

　�。�1）（相當于原來函數(shù)的值域）；

　�。�2）（相當于原來函數(shù)的定義域）；

　　即：相當于內(nèi)的一個角，這個角的正切值為。

　　反正切：符合條件（）的角，叫做實數(shù)的反正切，記作：。其中，。

　　對于反三角函數(shù)，大家切記：它們不是三角函數(shù)的反函數(shù)，需要對定義域加以改進后才能出現(xiàn)反函數(shù)。反三角函數(shù)的性質(zhì)，有興趣的同學可根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱這一特性，得到反三角函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)新教材的要求，這里就不再講了。

三角函數(shù)教案9

　　一：【課前預習】

　　(一)：【知識梳理】

　　1.直角三角形的邊角關(guān)系(如圖)

　　(1)邊的關(guān)系(勾股定理)：AC2+BC2=AB2;

　　(2)角的關(guān)系：B=

　　(3)邊角關(guān)系：

　　①：

　�、冢轰J角三角函數(shù)：

　　A的正弦= ;

　　A的余弦= ,

　　A的正切=

　　注：三角函數(shù)值是一個比值.

　　2.特殊角的三角函數(shù)值.

　　3.三角函數(shù)的關(guān)系

　　(1) 互為余角的`三角函數(shù)關(guān)系.

　　sin(90○-A)=cosA， cos(90○-A)=sin A tan(90○-A)= cotA

　　(2) 同角的三角函數(shù)關(guān)系.

　　平方關(guān)系：sin2 A+cos2A=l

　　4.三角函數(shù)的大小比較

　�、僬�、正切是增函數(shù).三角函數(shù)值隨角的增大而增大，隨角的減小而減小.

　　②余弦是減函數(shù).三角函數(shù)值隨角的增大而減小，隨角的減小而增大。

　　(二)：【課前練習】

　　1.等腰直角三角形一個銳角的余弦為( )

　　A. D.l

　　2.點M(tan60，-cos60)關(guān)于x軸的對稱點M的坐標是( )

　　3.在 △ABC中，已知C=90，sinB=0.6，則cosA的值是( )

　　4.已知A為銳角，且cosA0.5，那么( )

　　A.060 B.6090 C.030 D.3090

　　二：【經(jīng)典考題剖析】

　　1.如圖，在Rt△ABC中，C=90，A=45，點D在AC上，BDC=60，AD=l，求BD、DC的長.

　　2.先化簡，再求其值，其中x=tan45-cos30

　　3. 計算：①sin248○+ sin242○-tan44○tan45○tan 46○ ②cos 255○+ cos235○

　　4.比較大小(在空格處填寫或或=)

　　若=45○，則sin________cos

　　若45○，則sin cos

　　若45，則 sin cos.

　　5.⑴如圖①、②銳角的正弦值和余弦值都隨著銳角的確定而確定，變化而變化，試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值變化的規(guī)律;

　�、聘鶕�(jù)你探索到的規(guī)律，試比較18○、34○、50○、61○、88○這些銳角的正弦值的大小和余弦值的大小.

　　三：【課后訓練】

　　1. 2sin60-cos30tan45的結(jié)果為( )

　　A. D.0

　　2.在△ABC中，A為銳角，已知 cos(90-A)= ，sin(90-B)= ，則△ABC一定是( )

　　A.銳角三角形;B.直角三角形;C.鈍角三角形;D.等腰三角形

　　3.如圖，在平面直角坐標系中，已知A(3，0)點B(0，-4),則cosOAB等于__________

　　4.cos2+sin242○ =1，則銳角=______.

　　5.在下列不等式中，錯誤的是( )

　　A.sin45○sin30○;B.cos60○tan30○;D.cot30○

　　6.如圖，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，則tanB的值是()

　　7.如圖所示，在菱形ABCD中，AEBC于 E點，EC=1，B=30，求菱形ABCD的周長.

　　8.如圖所示，在△ABC中，ACB=90，BC=6，AC=8 ，CDAB，求：①sinACD 的值;②tanBCD的值

　　9.如圖，某風景區(qū)的湖心島有一涼亭A，其正東方向有一棵大樹B，小明想測量A/B之間的距離，他從湖邊的C處測得A在北偏西45方向上，測得B在北偏東32方向上，且量得B、C之間的距離為100米，根據(jù)上述測量結(jié)果，請你幫小明計算A山之間的距離是多少?(結(jié)果精確至1米.參考數(shù)據(jù)：sin32○0.5299，cos32○0.8480)

　　10.某住宅小區(qū)修了一個塔形建筑物AB，如圖所示，在與建筑物底部同一水平線的C處，測得點A的仰角為45，然后向塔方向前進8米到達D處，在D處測得點A的仰角為60，求建筑物的高度.(精確0.1米)

三角函數(shù)教案10

　　第二十四教時

　　教材：倍角公式，推導和差化積及積化和差公式

　　目的：繼續(xù)復習鞏固倍角公式，加強對公式靈活運用的訓練;同時，讓學生推導出和差化積和積化和差公式，并對此有所了解。

　　過程：

　　一、復習倍角公式、半角公式和萬能公式的推導過程：

　　例一、已知，，tan = ，tan = ，求2 +

　　(《教學與測試》P115 例三)

　　解：

　　又∵tan2 0，tan 0 ，

　　2 + =

　　例二、已知sin cos = ，，求和tan的值

　　解：∵sin cos =

　　化簡得：

　　∵ 即

　　二、積化和差公式的`推導

　　sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = [sin( + ) + sin( )]

　　sin( + ) sin( ) = 2cossin cossin = [sin( + ) sin( )]

　　cos( + ) + cos( ) = 2coscos coscos = [cos( + ) + cos( )]

　　cos( + ) cos( ) = 2sinsin sinsin = [cos( + ) cos( )]

　　這套公式稱為三角函數(shù)積化和差公式，熟悉結(jié)構(gòu)，不要求記憶，它的優(yōu)點在于將積式化為和差，有利于簡化計算。(在告知公式前提下)

　　例三、求證：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32

　　證：左邊 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2

　　= (cos4 cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2

　　= cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2

　　= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)

　　= cos22cos22 = cos32 = 右邊

　　原式得證

　　三、和差化積公式的推導

　　若令 + = ， = ，則，代入得：

　　這套公式稱為和差化積公式，其特點是同名的正(余)弦才能使用，它與積化和差公式相輔相成，配合使用。

　　例四、已知cos cos = ，sin sin = ，求sin( + )的值

　　解：∵cos cos = ， ①

　　sin sin = ， ②

　　四、小結(jié)：和差化積，積化和差

　　五、作業(yè)：《課課練》P3637 例題推薦 13

　　P3839 例題推薦 13

　　P40 例題推薦 13

三角函數(shù)教案11

　　一、教學內(nèi)容

　　本節(jié)主要內(nèi)容為：經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算。

　　二、教學目標

　　1、經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進行有關(guān)推理，進一步體會三角函數(shù)的意義。

　　2、能夠進行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算。

　　3、能夠根據(jù)30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，說出相應的銳角的'大小。

　　三、過程與方法

　　通過進行有關(guān)推理，探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值。在具體教學過程中，教師可在教材的基礎(chǔ)上適當拓展，使得內(nèi)容更為豐富，教師可以運用和學生共同探究式的教學方法，學生可以采取自主探討式的學習方法．

　　四、教學重點和難點

　　重點：進行含有30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算

　　難點：記住30°、45°、60°角的三角函數(shù)值

　　五、教學準備

　　教師準備

　　預先準備教材、教參以及多媒體課件

　　學生準備

　　教材、同步練習冊、作業(yè)本、草稿紙、作圖工具等

　　六、教學步驟

　　教學流程設計

　　教師指導學生活動

　　1。新章節(jié)開場白。 1。進入學習狀態(tài)。

　　2。進行教學。 2。配合學習。

　　3�？偨Y(jié)和指導學生練習。 3記錄相關(guān)內(nèi)容，完成練習。

　　教學過程設計

　　1、從學生原有的認知結(jié)構(gòu)提出問題

　　2、師生共同研究形成概念

　　3、隨堂練習

　　4、小結(jié)

　　5、作業(yè)

　　板書設計

　　1、敘述三角函數(shù)的意義

　　2、30°、45°、60°角的三角函數(shù)值

　　3、例題

　　七、課后反思

　　本節(jié)課基本上能夠突出重點、弱化難點，在時間上也能掌控得比較合理，學生也比較積極投入學習中，但是學生好像并不是掌握得很好，在今后的教學中應該再加強關(guān)于這方面的學習。

三角函數(shù)教案12

　　教學目的：

　　知識目標：1.理解三角函數(shù)定義. 三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線.

　　2.理解握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.?

　　3.理解終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.

　　能力目標：

　　1.掌握三角函數(shù)定義. 三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線.

　　2.掌握各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.?

　　3.掌握終邊相同的角的.同一三角函數(shù)值相等.

　　授課類型：復習課

　　教學模式：講練結(jié)合

　　教具：多媒體、實物投影儀

　　教學過程：

　　一、復習引入：

　　1、三角函數(shù)定義. 三角函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線，各種三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.誘導公式第一組.

　　2.確定下列各式的符號

　　(1)sin100°cs240° (2)sin5+tan5

　　3. .x取什么值時, 有意義?

　　4．若三角形的兩內(nèi)角，滿足sincs 0，則此三角形必為……（）

　　A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能

　　5．若是第三象限角，則下列各式中不成立的是………………（）

　　A：sin+cs 0 B：tansin 0

　　C：csct 0 D：ctcsc 0

　　6．已知是第三象限角且，問是第幾象限角？

　　二、講解新課：

　　1、求下列函數(shù)的定義域：

　�。�1）；（2）

　　2、已知，則為第幾象限角？

　　3、（1）若θ在第四象限，試判斷sin(csθ)cs(sinθ)的符號；

　�。�2）若tan(csθ)ct(sinθ)>0,試指出θ所在的象限，并用圖形表示出的取值范圍.

　　4、求證角θ為第三象限角的充分必要條件是

　　證明：必要性：∵θ是第三象限角，?

　　∴

　　充分性：∵sinθ＜0，

　　∴θ是第三或第四象限角或終邊在ｙ軸的非正半軸上

　　∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?

　　∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?

　　∴θ為第三象限角.?

　　5 求值：sin(-1320°)cs1110°+cs(-1020°)sin750°+tan495°．

　　三、鞏固與練習

　　1 求函數(shù) 的值域

　　2 設是第二象限的角，且的范圍.

　　四、小結(jié)：

　　五、課后作業(yè)：

　　1、利用單位圓中的三角函數(shù)線，確定下列各角的取值范圍：

　　(1) sinα

　　2、角α的終邊上的點P與A（a,b）關(guān)于x軸對稱，角β的終邊上的點Q與A關(guān)于直線=x對稱.求sinαescβ+tanαctβ+secαcscβ的值.

三角函數(shù)教案13

　　課前預習學案

　　一、預習目標：

　　1.了解三角函數(shù)的兩種定義方法；

　　2.知道三角函數(shù)線的基本做法.

　　二、預習內(nèi)容：

　　根據(jù)課本本節(jié)內(nèi)容，完成預習目標，完成以下各個概念的填空.

　　三、提出疑惑

　　同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中

　　疑惑點疑惑內(nèi)容

　　課內(nèi)探究學案

　　一、學習目標

　　（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；

　�。�2）理解任意角的三角函數(shù)不同的定義方法；

　　（3）了解如何利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用正弦線、余弦線、正切線表示出來；

　　（4）掌握并能初步運用公式一；

　�。�5）樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù).

　　二、重點、難點

　　重點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；終邊相同的角的.同一三角函數(shù)值相等（公式一）.

　　難點: 任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號）；三角函數(shù)線的正確理解.

　　三、學習過程

　�。ㄒ唬⿵土暎�

　　1、初中銳角的三角函數(shù)______________________________________________________

　　2、在Rt△ABC中，設A對邊為a，B對邊為b，C對邊為c，銳角A的正弦、余弦、正切依次為_______________________________________________

　�。ǘ┬抡n：

　　1．三角函數(shù)定義

　　在直角坐標系中，設α是一個任意角，α終邊上任意一點（除了原點）的坐標為，它與原點的距離為，那么

　　（1）比值_______叫做α的正弦，記作_______，即________

　�。�2）比值_______叫做α的余弦，記作_______，即_________

　　（3）比值_______叫做α的正切，記作_______，即_________；

　　2．三角函數(shù)的定義域、值域

　　函數(shù)定義域值域

　　3．三角函數(shù)的符號

　　由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標的符號，我們可以得知：

　　①正弦值對于第一、二象限為_____（），對于第三、四象限為____（）；

　�、谟嘞抑� 對于第一、四象限為_____（），對于第二、三象限為____（）；

　　③正切值對于第一、三象限為_______（同號），對于第二、四象限為______（異號）．

　　4．誘導公式

　　由三角函數(shù)的定義，就可知道：__________________________

　　即有：_________________________

　　_________________________

　　5．當角的終邊上一點的坐標滿足_______________時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。

　　設任意角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點 .

　　由四個圖看出：

　　當角的終邊不在坐標軸上時，有向線段，于是有

　　，_______ ，________

　�。甠________

　　我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。

　　（三）例題

　　例1．已知角α的終邊經(jīng)過點，求α的三個函數(shù)制值。

　　變式訓練1：已知角的終邊過點，求角的正弦、余弦和正切值.

　　例2．求下列各角的三個三角函數(shù)值：

　�。�1）；（2）；（3）．

　　變式訓練2：求的正弦、余弦和正切值.

　　例3．已知角α的終邊過點，求α的三個三角函數(shù)值。

　　變式訓練3：求函數(shù) 的值域

　　例4．.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小：

　　1. 與 2. tan 與tan

　�。ㄋ模⑿〗Y(jié)

　　課后練習與提高

　　一、選擇題

　　1. 是第二象限角，P（，）為其終邊上一點，且，則的值為（）

　　A. B. C. D.

　　2. 是第二象限角，且，則是（）

　　A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

　　3、如果那么下列各式中正確的是（）

　　A. B.

　　C. D.

　　二、填空題

　　4. 已知的終邊過（ 9，）且，，則的取值范圍是。

　　5. 函數(shù) 的定義域為。

　　6. 的值為（正數(shù)，負數(shù)，0，不存在）

　　三、解答題

　　7.已知角α的終邊上一點P的坐標為（）（），且，求

　　參考答案

　　一、選擇題：

　　1. A 2 . C 3． D

　　二、填空題

　　4. 5. 6. 負數(shù)

　　三、解答題

　　7. 解：由題意，得：

　　解得：，所以

三角函數(shù)教案14

　　一、教學內(nèi)容：橢圓的方程

　　要求：理解橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)．

　　重點：橢圓的方程與幾何性質(zhì)．

　　難點：橢圓的方程與幾何性質(zhì)．

　　二、點：

　　1、橢圓的定義、標準方程、圖形和性質(zhì)

　　定義

　　第一定義：平面內(nèi)與兩個定點）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距

　　第二定義：

　　平面內(nèi)到動點距離與到定直線距離的比是常數(shù)e．（0

　　標準方程

　　焦點在x軸上

　　焦點在y軸上

　　圖形

　　焦點在x軸上

　　焦點在y軸上

　　性質(zhì)

　　焦點在x軸上

　　范圍：

　　對稱性：軸、軸、原點．

　　頂點：，．

　　離心率：e

　　概念：橢圓焦距與長軸長之比

　　定義式：

　　范圍：

　　2、橢圓中a，b，c，e的關(guān)系是：（1）定義：r1＋r2=2a

　�。�2）余弦定理：＋－2r1r2cos（3）面積： = r1r2 sin ?2c y0 （其中P（）

　　三、基礎(chǔ)訓練：

　　1、橢圓的標準方程為，焦點坐標是，長軸長為___2____，短軸長為2、橢圓的值是__3或5__；

　　3、兩個焦點的坐標分別為 ___；

　　4、已知橢圓上一點P到橢圓一個焦點的距離是7，則點P到另一個焦點5、設F是橢圓的一個焦點，B1B是短軸，，則橢圓的離心率為6、方程 =10，化簡的結(jié)果是；

　　滿足方程7、若橢圓短軸上的兩個三等分點與兩個焦點構(gòu)成一個正方形，則橢圓的離心率為

　　8、直線y=kx－2與焦點在x軸上的橢圓9、在平面直角坐標系頂點，頂點在橢圓上，則10、已知點F是橢圓的右焦點，點A（4，1）是橢圓內(nèi)的一點，點P（x，y）（x≥0）是橢圓上的一個動點，則的最大值是 8 ．

　　【典型例題】

　　例1、（1）已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，短軸長為4，求橢圓的方程．

　　解：設方程為．

　　所求方程為

　�。�2）中心在原點，焦點在x軸上，右焦點到短軸端點的距離為2，到右頂點的距離為1，求橢圓的'方程．

　　解：設方程為．

　　所求方程為（3）已知三點P，（5，2），F(xiàn)1 （-6，0），F(xiàn)2 （6，0）．設點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2關(guān)于直線y=x的對稱點分別為，求以為焦點且過點的橢圓方程．

　　解：（1）由題意可設所求橢圓的標準方程為 ∴所以所求橢圓的標準方程為（4）求經(jīng)過點M（， 1）的橢圓的標準方程．

　　解：設方程為

　　例2、如圖所示，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星運行軌道是以地心（地球的中心）為一個焦點的橢圓，已知它的近地點A（離地面最近的點）距地面439km，遠地點B（離地面最遠的點）距地面2384km，并且、A、B在同一直線上，設地球半徑約為6371km，求衛(wèi)星運行的軌道方程（精確到1km）．

　　解：建立如圖所示直角坐標系，使點A、B、在軸上，

　　則 =OA－O = A=6371＋439=6810

　　解得 =7782.5， =972.5

　　衛(wèi)星運行的軌道方程為

　　例3、已知定圓

　　分析：由兩圓內(nèi)切，圓心距等于半徑之差的絕對值根據(jù)圖形，用符號表示此結(jié)論：

　　上式可以變形為，又因為，所以圓心M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓

　　解：知圓可化為：圓心Q（3，0），

　　設動圓圓心為，則為半徑又圓M和圓Q內(nèi)切，所以，

　　即，故M的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓，且PQ中點為原點，所以，故動圓圓心M的軌跡方程是：

　　例4、已知橢圓的焦點是｜和｜（1）求橢圓的方程；

　�。�2）若點P在第三象限，且∠ =120°，求．

　　選題意圖：綜合考查數(shù)列與橢圓標準方程的基礎(chǔ)知識，靈活運用等比定理進行解題．

　　解：（1）由題設｜｜=2｜｜=4

　　∴ ， 2c=2， ∴ｂ=∴橢圓的方程為．

　�。�2）設∠ ，則∠ =60°－θ

　　由正弦定理得：

　　由等比定理得：

　　整理得：故

　　說明：曲線上的點與焦點連線構(gòu)成的三角形稱曲線三角形，與曲線三角形有關(guān)的問題常常借助正（余）弦定理，借助比例性質(zhì)進行處理．對于第二問還可用后面的幾何性質(zhì)，借助焦半徑公式余弦定理把P點橫坐標先求出來，再去解三角形作答

　　例5、如圖，已知一個圓的圓心為坐標原點，半徑為2，從這個圓上任意一點P向軸作垂線段PP?@，求線段PP?@的中點M的軌跡（若M分 PP?@之比為，求點M的軌跡）

　　解：（1）當M是線段PP?@的中點時，設動點，則的坐標為

　　因為點在圓心為坐標原點半徑為2的圓上，

　　所以有所以點

　�。�2）當M分 PP?@之比為時，設動點，則的坐標為

　　因為點在圓心為坐標原點半徑為2的圓上，所以有，

　　即所以點

　　例6、設向量 =（1， 0）， =（x＋m）＋y =（x－m）＋y ＋（I）求動點P（x，y）的軌跡方程；

　�。↖I）已知點A（－1， 0），設直線y= （x－2）與點P的軌跡交于B、C兩點，問是否存在實數(shù)m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

　　解：（I）∵ =（1， 0）， =（0， 1）， =6

　　上式即為點P（x， y）到點（－m， 0）與到點（m， 0）距離之和為6．記F1（－m， 0），F(xiàn)2（m， 0）（0

　　∴ PF1＋PF2=6＞F1F2

　　又∵x＞0，∴P點的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓的右半部分．

　　∵ 2a=6，∴a=3

　　又∵ 2c=2m，∴ c=m，b2=a2－c2=9－m2

　　∴ 所求軌跡方程為（x＞0，0＜m＜3）

　�。� II ）設B（x1， y1），C（x2， y2），

　　∴∴ 而y1y2= （x1－2）? （x2－2）

　　= [x1x2－2（x1＋x2）＋4]

　　∴ [x1x2－2（x1＋x2）＋4]

　　= [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]

　　若存在實數(shù)m，使得成立

　　則由 [10x1x2＋7（x1＋x2）＋13]=

　　可得10x1x2＋7（x1＋x2）＋10=0 ①

　　再由

　　消去y，得（10－m2）x2－4x＋9m2－77=0 ②

　　因為直線與點P的軌跡有兩個交點．

　　所以

　　由①、④、⑤解得m2= ＜9，且此時△＞0

　　但由⑤，有9m2－77= ＜0與假設矛盾

　　∴ 不存在符合題意的實數(shù)m，使得

　　例7、已知C1：，拋物線C2：（y－m）2=2px （p＞0），且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點．

　　（Ⅰ）當AB⊥x軸時，求p、m的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；

　�。á颍┤魀= ，且拋物線C2的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程．

　　解：（Ⅰ）當AB⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m=0，直線AB的方程為x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，－）．

　　∵點A在拋物線上，∴

　　此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上．

　�。á颍┊擟2的焦點在AB上時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=k（x－1）．

　　由（kx－k－m）2= ①

　　因為C2的焦點F（，m）在y=k（x－1）上．

　　所以k2x2－（k2＋2）x＋ =0 ②

　　設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2=

　　由

　�。�3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12=0 ③

　　由于x1、x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2=

　　從而 = k2=6即k=±

　　又m=－ ∴m= 或m=－

　　當m= 時，直線AB的方程為y=－（x－1）；

　　當m=－時，直線AB的方程為y= （x－1）．

　　例8、已知橢圓C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為e．直線l：y=ex＋a與x軸，y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關(guān)于直線l的對稱點，設 = ．

　�。á瘢┳C明：（Ⅱ）若，△MF1F2的周長為6，寫出橢圓C的方程；

　�。á螅┐_定解：（Ⅰ）因為A、B分別為直線l：y=ex＋a與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是A（－，0），B（0，a）．

　　由得這里∴M = ，a）

　　即解得

　�。á颍┊� 時， ∴a=2c

　　由△MF1F2的周長為6，得2a＋2c=6

　　∴a=2，c=1，b2=a2－c2=3

　　故所求橢圓C的方程為

　�。á螅逷F1⊥l ∴∠PF1F2=90°＋∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有PF1=F1F2，即 PF1=C．

　　設點F1到l的距離為d，由

　　PF1= =得： =e ∴e2= 于是

　　即當（注：也可設P（x0，y0），解出x0，y0求之）

　　【模擬】

　　一、選擇題

　　1、動點M到定點和的距離的和為8，則動點M的軌跡為（）

　　A、橢圓 B、線段 C、無圖形 D、兩條射線

　　2、設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）

　　A、 C、2－－1

　　3、（2004年高考湖南卷）F1、F2是橢圓C：的焦點，在C上滿足PF1⊥PF2的點P的個數(shù)為（）

　　A、2個 B、4個 C、無數(shù)個 D、不確定

　　4、橢圓的左、右焦點為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點，則△ABF2的周長為（）

　　A、32 B、16 C、8 D、4

　　5、已知點P在橢圓（x－2）2＋2y2=1上，則的最小值為（）

　　A、 C、

　　6、我們把離心率等于黃金比是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點和右頂點，B是它的短軸的一個端點，則等于（）

　　A、 C、

　　二、填空題

　　7、橢圓的頂點坐標為和，焦點坐標為，焦距為，長軸長為，短軸長為，離心率為，準線方程為．

　　8、設F是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi（i=1，2，），使得FP1、FP2、FP3…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍是．

　　9、設，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且，則得．

　　10、若橢圓 =1的準線平行于x軸則m的取值范圍是

　　三、解答題

　　11、根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程

　�。�1）和橢圓共準線，且離心率為．

　�。�2）已知P點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點．

　　12、已知軸上的一定點A（1，0），Q為橢圓上的動點，求AQ中點M的軌跡方程

　　13、橢圓的焦點為 =（3，－1）共線．

　�。�1）求橢圓的離心率；

　�。�2）設M是橢圓上任意一點，且 = 、 ∈R），證明為定值．

　　【試題答案】

　　1、B

　　2、D

　　3、A

　　4、B

　　5、D（法一：設，則y=kx代入橢圓方程中得：（1＋2k2）x2－4x＋3=0，由△≥0得：．法二：用橢圓的參數(shù)方程及三角函數(shù)的有界性求解）

　　6、C

　　7、（；（0，）；6；10；8；；．

　　8、 ∪

　　9、

　　10、m＜且m≠0．

　　11、（1）設橢圓方程．

　　解得，所求橢圓方程為（2）由．

　　所求橢圓方程為的坐標為

　　因為點為橢圓上的動點

　　所以有

　　所以中點

　　13、解：設P點橫坐標為x0，則為鈍角．當且僅當．

　　14、（1）解：設橢圓方程，F(xiàn)（c，0），則直線AB的方程為y=x－c，代入，化簡得：

　　x1x2=

　　由 =（x1＋x2，y1＋y2），共線，得：3（y1＋y2）＋（x1＋x2）=0，

　　又y1=x1－c，y2=x2－c

　　∴ 3（x1＋x2－2c）＋（x1＋x2）=0，∴ x1＋x2=

　　即 = ，∴ a2=3b2

　　∴ 高中地理，故離心率e= ．

　�。�2）證明：由（1）知a2=3b2，所以橢圓可化為x2＋3y2=3b2

　　設 = （x2，y2），∴ ，

　　∵M∴ （）2＋3（）2=3b2

　　即：）＋（由（1）知x1＋x2= ，a2= 2，b2= c2．

　　x1x2= = 2

　　x1x2＋3y1y2=x1x2＋3（x1－c）（x2－c）

　　=4x1x2－3（x1＋x2）c＋3c2= 2－ 2＋3c2=0

　　又 =3b2代入①得

　　為定值，定值為1．

三角函數(shù)教案15

　　教學目標

　　1、知識與技能

　　(1)了解周期現(xiàn)象在現(xiàn)實中廣泛存在;(2)感受周期現(xiàn)象對實際工作的意義;(3)理解周期函數(shù)的概念;(4)能熟練地判斷簡單的實際問題的周期;(5)能利用周期函數(shù)定義進行簡單運用。

　　2、過程與方法

　　通過創(chuàng)設情境：單擺運動、時鐘的圓周運動、潮汐、波浪、四季變化等，讓學生感知周期現(xiàn)象;從數(shù)學的角度分析這種現(xiàn)象，就可以得到周期函數(shù)的定義;根據(jù)周期性的定義，再在實踐中加以應用。

　　3、情感態(tài)度與價值觀

　　通過本節(jié)的學習，使同學們對周期現(xiàn)象有一個初步的認識，感受生活中處處有數(shù)學，從而激發(fā)學生的學習積極性，培養(yǎng)學生學好數(shù)學的信心，學會運用聯(lián)系的觀點認識事物。

　　教學重難點

　　重點:感受周期現(xiàn)象的存在，會判斷是否為周期現(xiàn)象。

　　難點:周期函數(shù)概念的理解，以及簡單的應用。

　　教學工具

　　投影儀

　　教學過程

　　創(chuàng)設情境，揭示課題

　　同學們：我們生活在海南島非常幸福，可以經(jīng)�？吹酱蠛＃找蔽覀兊那椴�。眾所周知，海水會發(fā)生潮汐現(xiàn)象，大約在每一晝夜的時間里，潮水會漲落兩次，這種現(xiàn)象就是我們今天要學到的周期現(xiàn)象。再比如，[取出一個鐘表,實際操作]我們發(fā)現(xiàn)鐘表上的時針、分針和秒針每經(jīng)過一周就會重復，這也是一種周期現(xiàn)象。所以，我們這節(jié)課要研究的`主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù)。(板書課題)

　　探究新知

　　1.我們已經(jīng)知道，潮汐、鐘表都是一種周期現(xiàn)象，請同學們觀察錢塘江潮的圖片(投影圖片)，注意波浪是怎樣變化的?可見，波浪每隔一段時間會重復出現(xiàn)，這也是一種周期現(xiàn)象。請你舉出生活中存在周期現(xiàn)象的例子。(單擺運動、四季變化等)

　　(板書：一、我們生活中的周期現(xiàn)象)

　　2.那么我們怎樣從數(shù)學的角度研究周期現(xiàn)象呢?教師引導學生自主學習課本P3——P4的相關(guān)內(nèi)容，并思考回答下列問題：

　�、偃绾卫斫狻吧Ⅻc圖”?

　�、趫D1-1中橫坐標和縱坐標分別表示什么?

　�、廴绾卫斫鈭D1-1中的“H/m”和“t/h”?

　�、軐τ谥芷诤瘮�(shù)的定義，你的理解是怎樣?

　　以上問題都由學生來回答，教師加以點撥并總結(jié)：周期函數(shù)定義的理解要掌握三個條件，即存在不為0的常數(shù)T;x必須是定義域內(nèi)的任意值;f(x+T)=f(x)。

　　(板書：二、周期函數(shù)的概念)

　　3.[展示投影]練習:

　　(1)已知函數(shù)f(x)滿足對定義域內(nèi)的任意x，均存在非零常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)。

　　求f(x+2T)，f(x+3T)

　　略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x)

　　f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x)

　　本題小結(jié)，由學生完成，總結(jié)出“周期函數(shù)的周期有無數(shù)個”，教師指出一般情況下，為避免引起混淆，特指最小正周期。

　　(2)已知函數(shù)f(x)是R上的周期為5的周期函數(shù)，且f(1)=20xx,求f(11)

　　略解：f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=20xx

　　(3)已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù)，且f(1)=2，f(x+3)=f(x)，求f(8)

　　略解：f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2

　　鞏固深化，發(fā)展思維

　　1.請同學們先自主學習課本P4倒數(shù)第五行——P5倒數(shù)第四行，然后各個學習小組之間展開合作交流。

　　2.例題講評

　　例1.地球圍繞著太陽轉(zhuǎn)，地球到太陽的距離y是時間t的函數(shù)嗎?如果是，這個函數(shù)

　　y=f(t)是不是周期函數(shù)?

　　例2.圖1-4(見課本)是鐘擺的示意圖，擺心A到鉛垂線MN的距離y是時間t的函數(shù)，y=g(t)。根據(jù)鐘擺的知識，容易說明g(t+T)=g(t),其中T為鐘擺擺動一周(往返一次)所需的時間，函數(shù)y=g(t)是周期函數(shù)。若以鐘擺偏離鉛垂線MN的角θ的度數(shù)為變量，根據(jù)物理知識，擺心A到鉛垂線MN的距離y也是θ的周期函數(shù)。

　　例3.圖1-5(見課本)是水車的示意圖，水車上A點到水面的距離y是時間t的函數(shù)。假設水車5min轉(zhuǎn)一圈，那么y的值每經(jīng)過5min就會重復出現(xiàn)，因此，該函數(shù)是周期函數(shù)。

　　3.小組課堂作業(yè)

　　(1)課本P6的思考與交流

　　(2)(回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾?7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾?

　　五、歸納整理，整體認識

　　(1)請學生回顧本節(jié)課所學過的知識內(nèi)容有哪些?所涉及到的主要數(shù)學思想方法有那些?

　　(2)在本節(jié)課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。

　　(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣?你的體會是什么?

　　六、布置作業(yè)

　　1.作業(yè)：習題1.1第1,2,3題.

　　2.多觀察一些日常生活中的周期現(xiàn)象的例子，進一步理解它的特點.

　　課后小結(jié)