初中數(shù)學以小學數(shù)學為基礎，初中生在數(shù)學學習中擅長形象思維，初中數(shù)學教學在原有知識基礎上，通過數(shù)學情境的創(chuàng)設以促進有效的活動體驗，并在此基礎上借助邏輯推理生成數(shù)學認知，是重要的教學思路. 三角形內(nèi)角和定理是初中數(shù)學基礎性內(nèi)容. 在體驗之后讓學生經(jīng)過邏輯推理，可以發(fā)現(xiàn)任意三角形的內(nèi)角和均為180°. 這是一個邏輯推理結果為真的陳述. “定理”是本課可以實施認知教學的數(shù)學概念.
人教版初中數(shù)學教材中，將三角形安排在七年級下冊，這樣的安排顯然是從知識本身來考慮的. 一方面，學生在小學階段已經(jīng)學過了三角形的相關知識;另一方面，初中階段又對此知識提出了新的要求. 如何在學生已有的知識基礎和生活經(jīng)驗基礎之上，將三角形這一“冷飯”炒出新味，是數(shù)學教師需要認真考慮的問題. 筆者分析了學生在小學階段的學習情況(主要依據(jù)教材設計與對學生的口頭調(diào)查)，感覺初中階段的設計思路既要依靠學生原來的知識，同時又不能忽視基本的體驗，更重要的是要促成數(shù)學認知的形成，這樣才能使三角形的知識在學生的數(shù)學知識體系中成為一個堅實的結點，進而提升學生的數(shù)學學習品質(zhì). 本文試以“三角形的內(nèi)角”這一知識點為例，談談筆者的教學思路.
關注已有認知基礎
三角形的內(nèi)角在小學數(shù)學中已有涉及，對其內(nèi)角和為180°也已經(jīng)有了測量、剪紙等方法證明，也就是說初中階段這一知識點的教學結果，學生是已知的. 這就對實際教學提出了一個挑戰(zhàn)，如何讓學生在初中階段這一知識的學習中有新的收獲，將直接決定著學生在這一階段的學習狀態(tài)，也關系到學生對初中數(shù)學的認識.
實際上，這里涉及了兩個層面：一是知識層面;二是學生的學習心理層面. 這也是以“認知基礎”這一概念來界定的重要原因. 知識層面自不待言，結果都已經(jīng)知道了，似乎就沒有什么好學的了;心理層面除了關系到學生的學習狀態(tài)之外，對教師的挑戰(zhàn)在于應當設計什么樣的學習過程，以將學生吸引到學習過程中來. 仔細研究學生已有的學習過程，會發(fā)現(xiàn)學生原有的學習過程有兩個重點：一是在教師指導下的剪紙活動;二是教師要求下的結果記憶. 而這樣導致的結果就是學生到了初中之后，一般只記得結果而忘記了過程. 于是教學思路也就相對明晰了：初中階段對三角形的內(nèi)角的教學，應當重在學習過程的設計，應當重在學生體驗的設計，應當努力讓學生在自主性發(fā)揮的基礎上，能夠對三角形內(nèi)角和產(chǎn)生更為深刻的數(shù)學認識.
宏觀思路已定，那下面的重點就是教學環(huán)節(jié)的設計了.
設計新的體驗情境
情境對于學生構建數(shù)學知識的意義是不言而喻的，尤其是對于初中學生而言，形象生動的情境，往往能夠讓學生的形象思維得到充分的運用，從而實現(xiàn)有效或高效學習. 那么，對于三角形的內(nèi)角這一知識而言，可以設計什么樣的情境呢?
《義務教育數(shù)學課程標準》(2011版)在描述課程設計思路的時候，有這樣的一段描述：“在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結果的同時，重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、解決問題的過程.” 這段描述對于初中數(shù)學的隱喻意義是深刻的，初中數(shù)學只有重視學生的體驗，才能讓學生在構建從生活數(shù)學到抽象數(shù)學的過程中有所依靠，也就是說只有體驗，才能讓擅長于形象思維的初中學生思之有物，進而思之有果. 既然如此，三角形的內(nèi)容就可以以學生的體驗為突破口，去設計教學過程.
幾經(jīng)思考，筆者創(chuàng)設的體驗情境是這樣的：第一步，給出用長木條構成的三角形、四邊形、五邊形(接頭處打孔穿螺絲)等學具，每組各一個，由學生自己去擺弄. 學生自然會發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定性不同，這樣就可以通過穩(wěn)定性將學生的注意力吸引到三角形上來. 這一步花費也就一兩分鐘的時間，卻可以瞬間凝聚學生的注意力. 第二步，讓學生將給出的四邊形變形為長方形，并向學生提出問題：此時長方形的四個角之和為多少度?學生稍加盤算就知道是360°(因為四個角都是90°). 第三步，讓學生觀察三角形，并提出問題：三角形的內(nèi)角和為多少度?這一步需要給出充分的時間讓學生去觀察思考. 教學實踐表明，此時學生觀察的對象就是三角形與長方形，他們會下意識地將兩者進行比較. 而這種下意識的行為，正是本情境需要的關鍵——只有在這種狀態(tài)下，學生的體驗才是真實的、自然的，也才能為后面的學習奠定基礎. 如果不出意外，此時會有數(shù)個數(shù)學基礎較好的學生有新的點子出來，比如說有學生會用一支筆充當長方形的對角線，進而發(fā)現(xiàn)其變成了兩個三角形. 由于長方形的四個角是360°，那兩個三角形的內(nèi)角就分別應當是180°了.
體驗至此，本環(huán)節(jié)似乎也就結束了，而這樣的設計似乎也看不出什么新的創(chuàng)意. 事實并非如此，因為筆者發(fā)現(xiàn)新的驚喜常常會悄然而生.
引向數(shù)學邏輯途徑
就在大部分人以為問題已經(jīng)解決了的時候，筆者拋出一個問題：三角形的內(nèi)角一定是180°嗎?會不會這個三角形與那個三角形的內(nèi)角和不一樣?
應當說這是一個非常規(guī)的“古怪”問題，而筆者感覺這個問題看起來似乎沒有道理，但其實卻給出了一個重要命題：要求三角形的'內(nèi)角和，那實際上有一個前提，即所有三角形的內(nèi)角和應當是一樣的，只有這樣，這個問題才有意義;反之，如果三角形的內(nèi)角和不具有固定結果的特征，那本問題就沒有價值了.
事實上，在教學中，這個問題也確實讓原本柳暗花明的課堂又進入了山重水復的狀態(tài). 學生會發(fā)現(xiàn)，剛才的體驗已經(jīng)不能解決這個問題. 也正是在這種情況下，有學生回憶起了之前用過的剪紙法，并且當眾給出了剪紙法的操作. 在這個學生的示范之下，絕大多數(shù)學生都回憶起了當時的這段體驗，并進而否定了筆者的問題：你看，任意給出一個三角形，用剪紙法可以得到三角之和都是180°.
應當說學生此前的體驗加上此時的演示，已經(jīng)讓學生的學習經(jīng)過了一個充分體驗的過程，在這個過程中學生對三角形的內(nèi)角尤其是內(nèi)角和的認識已經(jīng)積累了大量感性的認識，下面要做的就是理性思考. 而這一過渡應當由教師的問題來過渡，問題很簡單：無論是剪紙法，還是用量角器去測量，或者用簡單的邏輯推理，都無法得出三角形內(nèi)角和的一般規(guī)律，只有通過嚴謹且符合邏輯的數(shù)學證明，才能為問題的解決找到最佳的答案. 于是，學生的思路就被引向了數(shù)學推理.
下面的教學思路是明確的，關鍵在于教師如何引導學生自主發(fā)現(xiàn)證明方法. 比如說，怎樣才能讓學生想到過三角形某個頂點作另一邊的平行線呢?或者說怎樣才能讓學生想到延長某條邊，然后過該頂點作另一對邊的平行線呢?事實上，本證明中，這才是關鍵，一旦給出了這條輔助線，下面就只是平行線定理的相關應用了. 因此，筆者設計引導學生自主思考平行線的作出，為本環(huán)節(jié)教學的重點. 具體的引導是這樣的：現(xiàn)在的基本思路是證明三角形的內(nèi)角和是180°，但在我們面前并沒有現(xiàn)成的180°的角. 但是我們心中又是有180°角的，請同學們構思一下180°的角是什么樣子. 學生很快就能想到其實就是一條直線(也有學生想象成一條射線轉過180°). 于是再給出下面的問題：怎樣才能將三角形的三個內(nèi)角與大腦中構思的180°角聯(lián)系起來?事實上，在這個問題拋出之后，學生更多想到的是第二種思路，即確定任意一個頂點，然后延長某個邊，再要想的辦法就是將另兩個內(nèi)角“轉移”到這個地方來. 顯然，這就要將外角分成兩個角，如果兩個角的大小恰好等于另兩個內(nèi)角，那么問題就迎刃而解了.
問題分析到這里，絕大多數(shù)學生的思路就清晰了，剛剛學過的平行線的知識，立即就在此發(fā)揮了作用. 待平行線作出，利用同位角和內(nèi)錯角的關系，答案順利得出. 且同時能夠回答那個“古怪”的問題：任意三角形的內(nèi)角和都應當是180°，因為任意三角形都可以通過此方法來證明.
實現(xiàn)數(shù)學認知形成
經(jīng)過了體驗與邏輯推理之后，學生的基本認識已經(jīng)形成，下面要做的事情就是將體驗認識上升為數(shù)學語言. 就本知識而言，“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”的語言可以順利獲得，因為這樣的描述既是生活語言，也是數(shù)學語言. 筆者確定的重點在“三角形內(nèi)角和定理”這一概念上，在初中數(shù)學教學中，學生對“定理”這一概念的認識并不深刻，尤其是在七年級階段，學生還只認為其為一普通概念，因此，筆者認為此時是一個加強學生認識定理概念的機會.
所謂定理，即為經(jīng)過邏輯證明且為真的陳述. 在剛才的學習過程中，學生通過體驗加邏輯推理獲得了三角形內(nèi)角和的一般規(guī)律，結果顯然為真，于是告訴學生數(shù)學上對于此類命題，都會以定理稱之. 換句話說，以后遇到類似的經(jīng)過邏輯推理且結果正確的，一般都可以冠之以定理之稱. 通過這樣的認知生成，讓學生認識到數(shù)學有本身固有的語言. 而這種概念性的數(shù)學語言，是可以在學生的數(shù)學學習中起到催化作用的，數(shù)學認知結構的構建，正是建立在此類數(shù)學語言基礎之上的.
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