《小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教》是首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，首都師范大學(xué)初等教育研究所所長郜舒竹所著。 開篇，郜舒竹教授就談到一種現(xiàn)象：低年級(jí)學(xué)生在解決問題時(shí)，出現(xiàn)“欲加卻減，欲減又加”的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象為什么會(huì)出現(xiàn)，教師又該如何辨別正誤呢？書中給出了解釋。 這種現(xiàn)象為什么會(huì)出現(xiàn)？學(xué)生的認(rèn)知過程大致可以概括為三個(gè)階段。第一是感知，就是利用諸如眼睛、耳朵等感覺器官獲取信息；第二是對(duì)感知到的信息進(jìn)行加工，這一階段是在頭腦中進(jìn)行的；第三是作為感知和加工結(jié)果的輸出，通常表現(xiàn)為書面或口頭語言的表達(dá)。輸出既然是感知和加工的結(jié)果，那么其中出現(xiàn)的問題一定與感知和加工這兩個(gè)階段有關(guān)。對(duì)于低齡兒童來說，頭腦加工能力相對(duì)較弱，因此感知到的這種自然結(jié)構(gòu)就會(huì)對(duì)輸出產(chǎn)生更大的影響。何為自然結(jié)構(gòu)？“欲加卻減，欲減又加”有一個(gè)共同特點(diǎn)，就是學(xué)生寫出來的算式中數(shù)的順序與題目中呈現(xiàn)的信息的順序是一致的。人的閱讀順序通常是“從左向右，自上而下”，因此輸入到頭腦中的信息也是有順序的。這些信息和相應(yīng)的順序就在頭腦中形成了一個(gè)自然結(jié)構(gòu)，即問題的自然結(jié)構(gòu)，而我們教師所要求的是問題的加工結(jié)構(gòu)。
這給教師的啟示：在解決問題的教學(xué)中，注意“問題的自然結(jié)構(gòu)和問題的加工結(jié)構(gòu)”這兩種結(jié)構(gòu)的啟發(fā)和引導(dǎo)。 學(xué)生的做法究竟錯(cuò)沒錯(cuò)？正確的，因?yàn)橐呀?jīng)表達(dá)出了問題的數(shù)量關(guān)系；而認(rèn)為錯(cuò)誤，實(shí)際上是對(duì)等號(hào)的一種誤解：已知數(shù)應(yīng)當(dāng)寫在等號(hào)左側(cè)，計(jì)算結(jié)果應(yīng)當(dāng)寫在等號(hào)右側(cè)。先來介紹數(shù)學(xué)中的“等價(jià)關(guān)系”，它有自身性、交換性、傳遞性，“相等關(guān)系”也是一種等價(jià)關(guān)系，其中的交換性表明等號(hào)兩側(cè)是可以互換位置的，因此所謂的“已知數(shù)應(yīng)當(dāng)寫在等號(hào)左側(cè)，計(jì)算結(jié)果應(yīng)當(dāng)寫在等號(hào)右側(cè)”的說法是不成立的，至多可以認(rèn)為是人們約定俗成的一種習(xí)慣。 以何作為辨別學(xué)生正誤的標(biāo)準(zhǔn)？
小學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容依據(jù)其屬性可以分為三類，分別叫做規(guī)律性、規(guī)則性和規(guī)定性知識(shí)。規(guī)律性知識(shí)是對(duì)數(shù)學(xué)中某種客觀規(guī)律的描述，不以人的意志為轉(zhuǎn)移。規(guī)則性知識(shí)是依據(jù)數(shù)學(xué)自身邏輯發(fā)展的需要人為規(guī)定的內(nèi)容。規(guī)定性知識(shí)是依據(jù)人的某種需要或者習(xí)慣人為規(guī)定、約定俗成的內(nèi)容。上述案例中，認(rèn)為錯(cuò)誤的判斷標(biāo)準(zhǔn)就是定位于“規(guī)定性知識(shí)”，實(shí)際上，教師應(yīng)以“規(guī)律性知識(shí)”作為標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)槠洹翱陀^實(shí)際”。
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